Решение нелинейного интеграла непрерывно распределенного признака | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 18 июля, печатный экземпляр отправим 22 июля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: , ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №26 (212) июнь 2018 г.

Дата публикации: 29.06.2018

Статья просмотрена: 53 раза

Библиографическое описание:

Гоголев, А. Э. Решение нелинейного интеграла непрерывно распределенного признака / А. Э. Гоголев, И. В. Кондратов, Илья Ахматов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 26 (212). — С. 1-3. — URL: https://moluch.ru/archive/212/51836/ (дата обращения: 05.07.2020).



Данная работа посвящена поиску решения нелинейного интегрально — дифференциального уравнения, лежащего в основе математической модели, описывающей эволюцию вида во времени на основе наследования непрерывно — распределенных признаков, придуманная А. В. Нориным и М. Кузнецовым в 2012г. [1].

Интересующее нас интегро-дифференциальное уравнение [2] выглядит следующим образом и является нелинейным:

Разложим функции входящие в данное уравнение по , т. е. запишем формальный ряд. Затем, подставив в исходное уравнение, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Получаем цепочку уравнений, где в каждом следующем неизвестным является только одна функция, если предыдущие уравнения решены. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что, решив первое уравнение, мы получим решения и последующих.

Рассмотрим уравнение, получившееся приравниванием коэффициентов при :

Запишем в более удобной форме:

В таком виде это уравнение является нелинейным интегральным уравнением Фредгольма 2 рода. Как и многие другие виды [3] нелинейных интегральных уравнений, оно является нерешенным.

Разделим ядро на две функции от двух переменных:

Или:

В теории линейных интегральных уравнений существует множество методов их решений, попробовав применить большую часть к нашему получившемуся нелинейному (из-за квадрата) интегральному уравнению, успешным окажется только один. Это метод разложения по Известный также, как метод последовательных приближений. Построим схожий алгоритм для решения нелинейного интегрального уравнения.

Запишем формальный ряд разложения по

Подставим это разложение в наше уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

Покажем сходимость данного разложения. Если приближения не возрастают, т. е.

то ряд будет сходиться при любых . Пусть выполняется следующее условие:

Тогда членом

можно пренебречь. Следовательно, получим общую формулу приближений для четных и нечетных :

Перейдем к операторной записи интеграла:

Оценим

Т. к.

Попробуем оценить :

Из этой оценки следует, что ряд

Мажорируется числовым рядом

Сходящимся в круге

Итак, получили алгоритм решения нелинейного интегрального уравнения при заданном свободном члене и показали ограничение на , которое должно выполняться, чтобы метод работал.

Литература:

  1. А. В. Норин, М. В. Кузнецов. «Уравнения математической генетики типа Костицына с непрерывно-распределенными признаками» в сб. «Альманах», СПб, 2012.
  2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральное_уравнение
  3. П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский. «Интегральные уравнения», Москва, 1968.
Основные термины (генерируются автоматически): нелинейное интегральное уравнение, уравнение.


Похожие статьи

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем.

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

интегральное уравнение преобразуем к дифференциальному уравнению. Сперва найдём производные обеих частей по параметру

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом.

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

Библиографическое описание: Рейимберганов А. А. Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником интегрального

Здесь v.p. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения. Согласно (8) имеем. , , поэтому при

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Организация приближённого решения интегральных уравнений... 1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Рассмотрим дифференциальное уравнение. , (1). где L и N — являются линейные и нелинейные операторы, соответственно; q(х) является источником, неоднородный член.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, интеграл, интегральное уравнение, обобщенная формула трапеции, приближенное

Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра...

Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла.

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

, (8). то из уравнения Лакса получим нелинейное уравнение вида. (9).

функция, уравнение, фазовое пространство, сингулярное множество, обобщенное решение, решение, момент времени, уравнение Навье-Стокса, интегральное соотношение, газовая динамика.

Похожие статьи

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем.

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

интегральное уравнение преобразуем к дифференциальному уравнению. Сперва найдём производные обеих частей по параметру

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом.

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

Библиографическое описание: Рейимберганов А. А. Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником интегрального

Здесь v.p. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения. Согласно (8) имеем. , , поэтому при

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Организация приближённого решения интегральных уравнений... 1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Рассмотрим дифференциальное уравнение. , (1). где L и N — являются линейные и нелинейные операторы, соответственно; q(х) является источником, неоднородный член.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, интеграл, интегральное уравнение, обобщенная формула трапеции, приближенное

Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра...

Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла.

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

, (8). то из уравнения Лакса получим нелинейное уравнение вида. (9).

функция, уравнение, фазовое пространство, сингулярное множество, обобщенное решение, решение, момент времени, уравнение Навье-Стокса, интегральное соотношение, газовая динамика.

Задать вопрос