Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса второго рода обобщенным методом трапеции | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 ноября, печатный экземпляр отправим 6 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (65) май-1 2014 г.

Дата публикации: 29.04.2014

Статья просмотрена: 403 раза

Библиографическое описание:

Асанов А., Кадырова Г. М. Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса второго рода обобщенным методом трапеции // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 3-9. — URL https://moluch.ru/archive/65/9793/ (дата обращения: 23.10.2019).

1.      Постановка задачи и предворительного результаты:

Пусть, функция-возрастающая и непрерывная функция на G, где G= [a,b].

Рассмотрим интегрального уравнение

где К(x,t) и f(x) –известные функции, u(x)-искомая функция.

(1)-называется линейным интегральным уравнением Вольтерра-Стильтьеса второго рода.

В общем случае, уравнение (1) не сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стильтеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега. [5]. Различные приближенные методы решения линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода изучены в многих работах [1].

2.      Применение обобщенной формулы трапеции для интеграла Стильтьеса:

Рассмотрим обобщенную формулы трапеции для интеграла Стильтьеса [6], [7]

где h=, n, =a+ih, i=0,1,2,3,…,n, a

Здесь

 тогда, остаток оценивается

тогда, получаем

Здесь

Далее=

3.      Применение обобщенной формулы трапеции для интегрального уравнении Вольтерра-Стильтеса:

Рассматривается (1) уравнение

где h=, n, =a+ih, i=0,1,2,3,…,n,

применяя формулу (2) получим

, , (i=1,2,3,…,n),

Теперь, применяя формулу (2) получаем

u()=

где  ⃓, здесь

Пусть  является решением следующей системы

Учитывая (4) и (5) имеем

Введя новую функцию получим

оценим остаток

где =

Полагаем что,

Далее, из (5) имеем

 (8)

Таким образом (8) является алгоритм приближенное решения интегральных уравнения (1).

4.      Пример: Рассмотрим уравнение

Здесь [x,t],

Решение: Вычислим по обобщенной формуле трапеций при n=10. Имеем

h==i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;

Применяя формула (8) с помощью микрокалькулятора получаем следующие значение

;

;

u()=0.0367;

Точное решение данного интегрального уравнения является

u(x)=,  потому что, нетрудно догадаться, что

Сравнивая точное решение и приближенное решение, найдем погрешность данного интегрального уравнения. (Таблица 1)

Таблица 1

u()

0,0367

0,0316

0,0051

0,0939

0,0894

0,0045

0,1698

0,1643

0,0055

0,2593

0,2530

0,0063

=0.5

0,3609

0,3535

0,0074

=0.6

0,4733

0,4647

0,0086

0,6411

0,5857

0,0118

0,7314

0,7155

0,0159

=0.9

0,8721

0,8538

0,0183

1,0212

1

0,0212

4,6597

4,5117

0,148

Погрешность составляет 0,148.

Еще с помощью программу Delpi точнее результат выводим.

Код программы и график:

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, Grids, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart;

type

  TForm1 = class(TForm)

    lbl1: TLabel;

    lbl2: TLabel;

    edt1: TEdit;

    edt2: TEdit;

    lbl3: TLabel;

    edt3: TEdit;

    strngrd1: TStringGrid;

    btn1: TButton;

    cht1: TChart;

    btn2: TButton;

    lnsrsSeries1: TLineSeries;

    lnsrsSeries2: TLineSeries;

    procedure btn1Click(Sender: TObject);

    procedure btn2Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  n:Integer;

  u,x:array[0..1000] of Real;

implementation

{$R *.dfm}

 function f(x:Real):Real;

 begin

   f:=x*sqrt(x)-sqr(x)/4-sqr(x)*sqr(x)/6;

 end;

 function fi(x:Real):Real;

 begin

   fi:=sqrt(x);

 end;

 function k(x,t:Real):Real;

 begin

   k:=1+x*t;

 end;

 //tochnoe reshenie, esli izvestno

 function uu(x:Real):Real;

 begin

   uu:=x*sqrt(x);

 end;

procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);

var

  a,b,h,c,s:Real;

  i,j:Integer;

begin

  // vvod dannyh

  a:=StrToFloat(edt1.Text);

  b:=StrToFloat(edt2.Text);

  n:=StrToInt(edt3.Text);

  //predvoritelnye raschety

  h:=(b-a)/n;

  x[0]:=a;

  for i:=1 to n do x[i]:=x[i-1]+h;

  // regulirovka strok

  strngrd1.RowCount:=n+2;

  strngrd1.Cells[0,0]:='x';

  strngrd1.Cells[1,0]:='u';

  for i:=0 to n do strngrd1.Cells[0,i+1]:=FloatToStrF(x[i],ffFixed,8,5);

  //vychisleniya

  u[0]:=f(x[0]);

  for i:=1 to n do begin

  j:=1;

  c:=f(x[i])+(fi(x[i])-fi(x[i-1]))*k(x[i],x[i-1])*u[i-1]/2;

  s:=1-k(x[i],x[i])*(fi(x[i])-fi(x[i-1]))/2;

  while j<i do

    begin

 c:=c+(k(x[i],x[j-1])*u[j-1]+k(x[i],x[j])*u[j])*(fi(x[j])-fi(x[j-1]))/2;

     j:=j+1;

    end;

  u[i]:=c/s;

  end;

  //Vyvod

  for i:=0 to n do strngrd1.Cells[1,i+1]:=FloatToStrF(u[i],ffFixed,8,5);

  btn2.Visible:=True;

end;

procedure TForm1.btn2Click(Sender: TObject);

var

  i:Integer;

begin

  //ochishenie

  cht1.SeriesList[0].Clear;

  cht1.SeriesList[1].Clear;

  //grafik

  for i:=0 to n do

  begin

    cht1.SeriesList[0].AddXY(x[i], u[i],' ', clRed);

    cht1.SeriesList[1].AddXY(x[i], uu(x[i]),' ', clGreen);

  end;

end;

end.

График

Литература:

1.      А. В. Манжиров, А. Д. Полянин «Справочник по интегральным уравнением, методы решения», Москва, 2000г.

2.      A.Асанов. (2000) Производная функции по возрастающей функции. Fen Bilimleri DERĜİSİ, Кыргызко-Турецкий Университет «Maнас», № 1,с 18–64.

3.      С. Г. Михлин. Лекции по интегральным уравнениям. Москва, 1956.

4.      Г. М. Мюнтц. Интегральные уравнения. Москва, 1934.

5.      И. П. Натансон. «Теория функций вещественный переменной», Наука, Москва, 1974.

6.      Avyt Asanov, Haluk Chelik, Ali Chalish. APPROXIMATING THE STIELTJES INTEGRAL BY USING THE GENERALIZED TRAPEZOID RULE. LE MATEMATICHE, c 13–21, 2011.

7.      Ali Çalış, Stiltjes integralinde sayısal yaklaşım metodları, Bişkek, 2010.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, интеграл, интегральное уравнение, обобщенная формула трапеции, приближенное решение, точное решение.


Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем.

Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных...

1. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.

Поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Построим блок-схему решения метода прямоугольников

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

Решению интегрального уравнения удовлетворяет соответствующее ему дифференциальное уравнение.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Решение: Здесь используем для вычисления интеграла метод интегрирования по частям.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах...

Задача № 3. По данным исследования распределения доходов, в одной из стран кривая Лоренца, может быть описана уравнением , где

Выдающийся математик ал-Хорезми и его геометрические задачи. Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Реализовать решение задач с помощью программирования в DevC++ и в САПР MathCAD.

В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в которой значения

Изначально приближенное значение интеграла равно 0: Считываем число точек и...

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем.

Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных...

1. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.

Поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Построим блок-схему решения метода прямоугольников

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

Решению интегрального уравнения удовлетворяет соответствующее ему дифференциальное уравнение.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Решение: Здесь используем для вычисления интеграла метод интегрирования по частям.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Геометрические приложения определенного интеграла в задачах...

Задача № 3. По данным исследования распределения доходов, в одной из стран кривая Лоренца, может быть описана уравнением , где

Выдающийся математик ал-Хорезми и его геометрические задачи. Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Реализовать решение задач с помощью программирования в DevC++ и в САПР MathCAD.

В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в которой значения

Изначально приближенное значение интеграла равно 0: Считываем число точек и...

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Задать вопрос