Библиографическое описание:

Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Смаилова А. А., Турсынгалиев Н. К. Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 7-10.



В статье рассмотрено интегральное уравнение Вольтерра второго рода с заданным ядром. Такого рода интегральные уравнения возникают при решении некоторых граничных задач для существенно-нагруженных дифференциальных параболических уравнений в неограниченной области.

Ключевые слова:интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

При отыскании решений некоторых граничных задач для существенно-нагруженного дифференциального параболического уравнения естественным образом возникает необходимость исследования интегральных уравнений Вольтерра второго рода следующего вида [1]

, (1)

где — числовой параметр уравнения, — известная функция, определенная на промежутке , ядро интегрального уравнения (1) имеет вид

,

,(2)

, (3)

причем — модифицированная функция Бесселя, — числовой параметр, , — заданная, принимающая положительные значения функция, — искомая функция.

Функция определяет ядро интегрального уравнения (1). Вычислим функцию и представим различные ее интерпретации.

Учитывая, что [2]

при ; , где , , — символ Похгаммера, из (3) получим

,

. (4)

Подставив (4) в (2), получим следующее представление функции

.

Для функции , можно получить другое соотношение, используя интегральное представление модифицированной функции Бесселя [2]

. (5)

Учитывая, что [2]

при , , соотношение () преобразуем к виду

, (6)

, (7).

Так как [2]

, где ,

то

.

.

Учитывая нечетность и четность подынтегральных функций в первом и во втором интегралах последнего соотношения, получим

. Так как [80]

при ; ,

где — обобщенная гипергеометрическая функция, — вырожденная гипергеометрическая функция, , , — символ Похгаммера, , , то соотношение для примет вид

=

. (8)

Представление (6) с учетом (7) и (8) получим в виде

.

Учитывая свойства гамма-функции и бета-функции перепишем последнее соотношение для следующим образом

,

. (9)

Подставляя (9) в (3), получим следующее представление для функции

,

Используя различные представления функции ядра интегрального уравнения, исследуются вопросы разрешимости интегрального уравнения (1).

Литература:

  1. Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Об одной граничной задаче для нагруженного дифференциального оператора теплопроводности при неподвижной точку нагрузки //Вестник Карагандинского государственного университета. Серия Математика. — 2013. — № 2. — С. 65–69
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Москва, 2003, 664 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Вольтерра второго рода, уравнения Вольтерра второго, интегрального уравнения, ядро интегрального уравнения, модифицированная функция Бесселя, интегрального уравнения Вольтерра, рода интегральные уравнения, числовой параметр уравнения, уравнение Вольтерра второго, дифференциального параболического уравнения, уравнений Вольтерра второго, граничных задач, обобщенная гипергеометрическая функция, Есенбаева Г, символ Похгаммера, положительные значения функция, рода следующего вида, известная функция, дифференциального оператора теплопроводности, дифференциальных параболических уравнений.

Ключевые слова

интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос