Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Смаилова А. А., Турсынгалиев Н. К. Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 7-10. — URL https://moluch.ru/archive/114/30057/ (дата обращения: 21.08.2018).



В статье рассмотрено интегральное уравнение Вольтерра второго рода с заданным ядром. Такого рода интегральные уравнения возникают при решении некоторых граничных задач для существенно-нагруженных дифференциальных параболических уравнений в неограниченной области.

Ключевые слова:интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

При отыскании решений некоторых граничных задач для существенно-нагруженного дифференциального параболического уравнения естественным образом возникает необходимость исследования интегральных уравнений Вольтерра второго рода следующего вида [1]

, (1)

где — числовой параметр уравнения, — известная функция, определенная на промежутке , ядро интегрального уравнения (1) имеет вид

,

,(2)

, (3)

причем — модифицированная функция Бесселя, — числовой параметр, , — заданная, принимающая положительные значения функция, — искомая функция.

Функция определяет ядро интегрального уравнения (1). Вычислим функцию и представим различные ее интерпретации.

Учитывая, что [2]

при ; , где , , — символ Похгаммера, из (3) получим

,

. (4)

Подставив (4) в (2), получим следующее представление функции

.

Для функции , можно получить другое соотношение, используя интегральное представление модифицированной функции Бесселя [2]

. (5)

Учитывая, что [2]

при , , соотношение () преобразуем к виду

, (6)

, (7).

Так как [2]

, где ,

то

.

.

Учитывая нечетность и четность подынтегральных функций в первом и во втором интегралах последнего соотношения, получим

. Так как [80]

при ; ,

где — обобщенная гипергеометрическая функция, — вырожденная гипергеометрическая функция, , , — символ Похгаммера, , , то соотношение для примет вид

=

. (8)

Представление (6) с учетом (7) и (8) получим в виде

.

Учитывая свойства гамма-функции и бета-функции перепишем последнее соотношение для следующим образом

,

. (9)

Подставляя (9) в (3), получим следующее представление для функции

,

Используя различные представления функции ядра интегрального уравнения, исследуются вопросы разрешимости интегрального уравнения (1).

Литература:

  1. Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Об одной граничной задаче для нагруженного дифференциального оператора теплопроводности при неподвижной точку нагрузки //Вестник Карагандинского государственного университета. Серия Математика. — 2013. — № 2. — С. 65–69
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Москва, 2003, 664 с.
Основные термины (генерируются автоматически): интегральное уравнение, модифицированная функция, обобщенная гипергеометрическая функция, последнее соотношение, вид, функция.


Ключевые слова

интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Статья посвящена обоснованиям применения интегрального исчисления к решению ряда экономических задач. Ключевые слова: определенный интеграл, первообразная,предельные величины, производственная функция, дисконтирование...

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

где символ ядра имеет вид. (2). Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10].

Основные термины (генерируются автоматически): интегральное уравнение, область контакта, символ ядра, функция.

Построение периодических решений для квазилинейных...

-вектор функция, представима полиномом по , с коэффициентами - периодическими функциями по , разложимыми по в полином Фурье

Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях.

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

1) регулярное в области и обобщенное класса [2] в области D2 решение уравнения (1)

где — непрерывная и интегрируемая в функция. Приняв во внимание указанное выше, соотношение между и , из гиперболической части области D задачи запишем в виде.

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

В работе [2] П.Лакс показал, универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения

где определяется из следующих реккурентных соотношений. , , . Здесь начальная функция обладает следующими свойствами

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

т. е. к минимизации величин и ( ) при ограничении, заданном в виде равенства. Преимуществом такой постановки является то, что в одной

В качестве целевой функции (ЦФ) выбирается переменная при поиске и при поиске , а мерой отклонения от условия (3) служит штраф.

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Для функций вида уравнение (5) переходит в уравнение Кортевага-де Вриза на функцию. (6).

и выполним подстановку найденной функции (26). Найденное соотношение (27) подставим в (24). и умножим все члены на.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Статья посвящена обоснованиям применения интегрального исчисления к решению ряда экономических задач. Ключевые слова: определенный интеграл, первообразная,предельные величины, производственная функция, дисконтирование...

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

1. Определение и обозначения [1,2]. Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение первого рода относительно неизвестной функции имеет вид: , (1)...

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

где символ ядра имеет вид. (2). Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10].

Основные термины (генерируются автоматически): интегральное уравнение, область контакта, символ ядра, функция.

Построение периодических решений для квазилинейных...

-вектор функция, представима полиномом по , с коэффициентами - периодическими функциями по , разложимыми по в полином Фурье

Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях.

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

1) регулярное в области и обобщенное класса [2] в области D2 решение уравнения (1)

где — непрерывная и интегрируемая в функция. Приняв во внимание указанное выше, соотношение между и , из гиперболической части области D задачи запишем в виде.

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера...

В работе [2] П.Лакс показал, универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения

где определяется из следующих реккурентных соотношений. , , . Здесь начальная функция обладает следующими свойствами

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

т. е. к минимизации величин и ( ) при ограничении, заданном в виде равенства. Преимуществом такой постановки является то, что в одной

В качестве целевой функции (ЦФ) выбирается переменная при поиске и при поиске , а мерой отклонения от условия (3) служит штраф.

Построение 2+1-мерных интегрируемых уравнений

Для функций вида уравнение (5) переходит в уравнение Кортевага-де Вриза на функцию. (6).

и выполним подстановку найденной функции (26). Найденное соотношение (27) подставим в (24). и умножим все члены на.

Задать вопрос