Библиографическое описание:

Лаптев А. Г., Ахметов Р. Н., Саитбаталов М. В. Гидродинамическая аналогия переноса импульса и тепла в турбулентном по-граничном слое с градиентом давления // Молодой ученый. — 2010. — №6. — С. 28-34.

В статье на основе применения различных моделей турбулентного пограничного слоя получены выражения для вычисления  коэффициентов переноса импульса и теплоты. Для определения параметров полученных уравнений в пограничном слое с различными возмущениями (кривизна, шероховатость поверхности и т.д.) использовались известные свойства консервативности законов пограничного слоя (подход Кутателадзе, Леонтьева и т.д.) и балансовые соотношения переноса импульса.

            Проблема математического описания процессов турбулентного переноса тепла в одно- и двухфазных средах является одной из важных фундаментальных проблем современной науки. Повышенный интерес к проблеме математического описания процессов переноса в турбулентном пограничном слое определяется не только теоретической значимостью, но и значительными прикладными аспектами, в том числе для проектирования и интенсификации работы теплообменных аппаратов в различных отраслях промышленности.

            Ввиду крайне сложного характера физических процессов, сопровождающих турбулентный перенос, существующие в настоящее время теоретические подходы к решению такого рода задач являются полуэмпирическими. Теоретическая возможность прямого численного моделирования «упирается» в низкую производительность существующих ЭВМ и не представляется возможной в обозримом будущем.

            Помимо методов расчета пограничного слоя, основанных на теории Буссинеска (называемых также полными по классификации, предложенной в [1]) в инженерно-научной практике исследования тепломассообменного оборудования широкое распространение получили интегральные и интегрально-параметрические методы расчета турбулентного пограничного слоя. Несомненным удобством последних, помимо очевидной простоты, является удобство встраивания в алгоритмы системного анализа промышленных процессов, не требующее отвлечения значительных вычислительных ресурсов и высокой квалификации инженерного персонала. Очевидным недостатком семейства интегральных методов расчета турбулентного пограничного слоя является то, что получаемые эмпирические и полуэмпирические уравнения обладают малой областью применения и фактически описывают лишь один из частных случаев.

            Очевидно, что семейство интегральных моделей переноса в турбулентном пограничном слое является эмпирически найденной наилучшей формой аппроксимации решения полных, дифференциальных, моделей, связывающее характерные величины процессов в пограничном слое с характерными величинами внешнего потока. Таким образом, при функциональном моделировании промышленных процессов и аппаратов интегральные модели могут быть применены как в ходе решения самих систем дифференциальных уравнений так и в ходе математического взаимодействия функционального блока системы пограничного слоя с системами более высокого порядка [2].

            Сложившийся же разрыв между дифференциальными и интегральными методами расчета вызван в основном недостаточным использованием методов функционального и системного моделирования в научно-инженерной практике.

            В данной работе приведены новые соотношения позволяющие, использовать преимущества как интегральных так и дифференциальных моделей.

            Так называемые полные полуэмпирические модели турбулентности, в основной своей массе, основаны на двух основных направлениях развития гипотезы Буссинеска: Прандтля-Кармана и Колмогорова. Стремительное увеличение производительности процессоров в последние десятилетия послужило толчком к развитию моделей турбулентного переноса моментов порядка второго и выше, основанных на гипотезе Колмогорова. Однако, как отмечено в работах [3], существенное усложнение вычислительных алгоритмов, сопровождающее использование таких моделей, зачастую не сопровождается увеличением точности вычислений по сравнению с моделями на основе моментов первого порядка, так называемых алгебраических. Во многом это связано со свойствами консервативности гидродинамического пограничного слоя, выражающимися в частности как:

            консервативность длины пути смешения в окрестности стенки (но вне вязкого подслоя) относительно градиента давления и сжимаемости;

            вырождение вязкого подслоя и пульсаций плотности при Re→∞ и, как следствие этого, существование предельных относительных законов трения, в общем виде не зависящих от интегральных констант турбулентности;

            значительная консервативность безразмерной толщины вязкого подслоя на непроницаемой поверхности.

            В рамках решения задач переноса в пограничном слое, вполне можно ограничиться алгебраическими моделями турбулентной вязкости в том числе и при сложных гидродинамических условиях.

            С другой стороны в ходе многочисленных экспериментов была установлена существенная консервативность теплового и диффузионного пограничных слоев по сравнению с гидродинамическим. Во многом этим (хотя и не только) объясняется нарушение гидродинамической аналогии для течений в сложных геометрических условиях. На рисунке 1 хорошо видно, что сравнительно небольшие изменения продольного градиента давления, как в положительную, так и в отрицательную сторону, слабо влияют на распределение относительной температуры по высоте пограничного слоя. И, напротив, распределение безразмерной продольной скорости, как показано на рисунке 2 довольно сильно зависит от изменения давления.

 

Рис. 1. Влияние продольного градиента давления на распределение температуры по сечению пограничного слоя [4]: кривая – расчет по формуле .

-74

-55

-28

4,9

12,1

Обозначение

Обозначено:  - формпараметр градиентного течения;  - число Рейнольдса, вычисляемое по толщине потери импульса ; T – текущая температура по высоте пограничного слоя;  - температура на стенке;  - температура в ядре потока;  - толщина теплового пограничного слоя.

 

Рис. 2. Влияние продольного градиента давления на распределение скоростей по сечению пограничного слоя [4] кривая – расчет по формуле .

 

-74

-55

-9,06

4,9

11,2

4,9

28,2

Обозначение

 

Здесь u – текущая средняя скорость по высоте пограничного слоя; U - скорость в ядре потока;  - толщина гидродинамического пограничного слоя.

            На основании вышесказанного возможно моделирование тепломассоотдачи в пограничном слое на основе гидродинамической аналогии не только в случае простых (канонических) течений, но и для течений, осложненных различными возмущающими факторами. В этом случае характеристики гидродинамического пограничного слоя рассчитываются также как и для невозмущенного течения, а учет возмущающих факторов учитывается с помощью эффективных (эквивалентных величин). Принципы подбора эквивалентных величин были сформулированы авторами [5]. В качестве таковых могут быть выбраны любые интегральные гидродинамические характеристики пограничного слоя, в совокупности достаточные для описания величины диссипации механической энергии в пограничном слое.

            В рамках данной работы в качестве эффективных величин используются динамическая скорость -  , максимальная разность скоростей по высоте пограничного слоя ,  - толщина пограничного слоя. В качестве эффективной, как правило, принимается толщина пограничного слоя - . Остальные величины находятся из гидродинамических условий осложненного течения.

            Для математической связи этих характеристик пограничного слоя используются следующие соотношения баланса импульса и диссипации энергии:

 

                                                                                               

 

                                                                .                                                           

 

Здесь  -касательное напряжение на стенке, Н/м2;  - осредненная скорость по потоку, м/с;   - среднеобъемная диссипация энергии в пограничном слое, Вт/м3;  - коэффициент переноса импульса, м/с [2; 6].

            Коэффициент переноса импульса может быть найден из следующего уравнения:

 

                                                        ,                                                   

 

где -плотность среды, кг/м3; -максимальная разность скоростей по высоте пограничного слоя, м/с;  - молекулярный и турбулентный коэффициенты кинематической вязкости соответственно, м2/с.

            В , очевидно, делается допущение о слабом относительном  изменении касательного напряжения  по высоте пограничного слоя: . Оно вполне правомерно для пристенной подобласти пограничного слоя, где сосредоточено основное сопротивление переносу, и подтверждено многочисленными сравнениями с экспериментальными данными [2; 6-7].

            Вид функции коэффициента переноса импульса в определяется видом исходных функций турбулентной вязкости .

            Выражения для некоторых функций коэффициента переноса импульса показаны в табл. 1.

 

 

Таблица 1 Выражения для коэффициентов переноса импульса в зависимости от исходной функции турбулентной вязкости

 

Вид исходной зависимости коэффициента турбулентной кинематической вязкости

Источник

Коэффициент переноса

импульса

Источник

1

,  <5 ;

, 5<£30;

 при >30.

[8]

.

Данные автора

2

, 0<≤5;

, 5<£30;

, >30.

[9]

.

[6]

3

; где  n = 2,

[10]

.

Данные автора

4

, 0<;

, <;

где

[7]

.

[11]

 

Обозначения в табл. 1:  =  - безразмерная координата по высоте пограничного слоя,  =  - безразмерная эффективная высота пограничного слоя;  - граница вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя, м;  - безразмерная граница вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя;  - коэффициент Прандтля.

            Коэффициент переноса тепла на основании вышеописанных положений вычисляется исходя из интегрального выражения гидродинамической аналогии:

 

                                                    ,                                              

 

                                                                             

 - коэффициент теплоотдачи, Дж/(м2 ∙с),  - теплоемкость среды, Дж/(кг∙К);  - турбулентное и молекулярное число Прандтля соответственно.

            Также в упрощенном виде может использоваться выражение гидродинамической аналогии в форме:

 

                                                                                                                                    

 

            В качестве примера рассмотрим случай поперечного обтекание коридорного пучка труб.

            В [6] было получено выражение для коэффициента турбулентной вязкости в рамках вязкого подслоя:

 

                                                                 .                                                           

 

            Используя двухслойную модель турбулентного пограничного слоя (Прандтля) из получено:

 

                .          

; ; где χ и R1-характеристики пограничного слоя; R1=11,6; χ=0,4; -турбулентное число Прандтля, »1.

            Средняя движущая сила переноса импульса, м/с:

 

                                                                                                           

 

 

где - средняя скорость в узком сечении пучка, м/с;

            Влияние формы обтекаемых пучков учитывается с помощью полученного на основе в [12] выражения динамической скорости:

 

.                                                        (10)

 

Среднюю диссипацию энергии  в объеме пучка труб V представим через перепад давления P:

 

                                                            (11)

 

где - средняя скорость в узком сечении пучка, м/с; a b – относительный поперечный и продольный шаг пучка соответственно, a=s1/d; b=s2/d; d-диаметр трубок, м; Н-длина труб, м.

Перепад давления P, обусловленный сопротивлением трения и формы трубок, определяется по выражению [13]:

 

                                           (12)

 

где коэффициент, учитывающий угол атаки φ пучка труб , при φ=90 1; коэффициент, учитывающий шероховатость (рассматриваются абсолютно гладкие трубы ); χ-формпараметр, зависящий от a и b; отношение (ξ/χ) определяется по номограммам [13]; χ - по вспомогательному графику, в зависимости от комплекса ; z-количество рядов.

            Эффективная толщина пограничного слоя может быть вычислена по любому из уравнений в табл. 1.

Выполнен расчет коэффициентов теплоотдачи по выражениям (2) и (3) при поперечном движении однофазного потока в коридорных пучках труб (2×103 ≥ Re ≥ 2×105).

Результаты расчета коэффициента α и опытные данные [14] представлены на рис.3:

 

 

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что расчеты по уравнениям (6) и (8), удовлетворительно согласуется с известными экспериментальными данными.

Расхождение результатов составляет около 10-15%, что подтверждает справедливость использования обобщенной гидродинамической аналогии.

 

Список использованной литературы

 

1. Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. Тепло- и массообмен в пограничных слоях  / пер. Лыков А.В. - М.: Энергия, 1971.

2. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1993.

3. Лапин Ю.В. Статистическая теория турбулентности (прошлое и настоящее – краткий очерк идей) // Научно технические ведомости. 2004. 2.

4. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном cлое  - 2-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Лаптев А.Г., Дьяконов С.Г., Елизаров В.И. Математическое моделирование теплоотдачи при турбулентном обтекании пучков труб // Теплоэнергетика. 1992. № 12. с. 34-38.

6. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2007.

7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя  / пер. Вольперта Г.А.; под. ред. Лойцянского Л.Г. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 1974.

8. Кадер Б.А. К строению вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидксости // Изв. АН СССр Мех. жидк. и газа. 1966. №6. стр. 157-163.

9. Clauser F.H. The turbulent boundary layer. Advances in applied mechanics / Clauser F.H. - New York: Academic Press, Inc. , 1956: Vol. 4 - p. 2-51.

10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. пособие для вузов. – 7-е изд., испр. . - М.: Дрофа, 2003.

11. Энергоресурсосберегающие модернизации установок разделения и очистки газов и жидкостей на предприятиях нефтегазохимического комплексадис: д-ра техн. наук / Фарахов М.И. - Казань: КГТУ, 2009.

12. Соколов В.Н., Доманский И.В. Газожидкостные реакторы. - Л.: Машиностроение (Ленинградское отд-ние), 1976.

13. Жукаускас А.А. Конвективный переноса в теплообменниках. - М.: Наука, 1982.

14. Жукаускас А., Макарявичюс В.,  Шланчяускас А Теплоотдача пучков труб в поперечном потоке жидкости. - Вильнюс: «Минтис» 1968.

 

 

Основные термины (генерируются автоматически): пограничного слоя, пограничном слое, турбулентного пограничного слоя, толщина пограничного слоя, высоте пограничного слоя, гидродинамического пограничного слоя, сечению пограничного слоя, переноса импульса, расчета турбулентного пограничного, турбулентном пограничном слое, законов пограничного слоя, вязкого подслоя, расчета пограничного слоя, системы пограничного слоя, продольного градиента давления, подобласти пограничного слоя, характеристики пограничного слоя, характеристик пограничного слоя, пограничного слоя несжимаемой, моделей турбулентного пограничного.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос