Гидродинамическая аналогия переноса импульса и тепла в турбулентном по-граничном слое с градиентом давления

В статье на основе применения различных моделей турбулентного пограничного слоя получены выражения для вычисления  коэффициентов переноса импульса и теплоты. Для определения параметров полученных уравнений в пограничном слое с различными возмущениями (кривизна, шероховатость поверхности и т.д.) использовались известные свойства консервативности законов пограничного слоя (подход Кутателадзе, Леонтьева и т.д.) и балансовые соотношения переноса импульса.

            Проблема математического описания процессов турбулентного переноса тепла в одно- и двухфазных средах является одной из важных фундаментальных проблем современной науки. Повышенный интерес к проблеме математического описания процессов переноса в турбулентном пограничном слое определяется не только теоретической значимостью, но и значительными прикладными аспектами, в том числе для проектирования и интенсификации работы теплообменных аппаратов в различных отраслях промышленности.

            Ввиду крайне сложного характера физических процессов, сопровождающих турбулентный перенос, существующие в настоящее время теоретические подходы к решению такого рода задач являются полуэмпирическими. Теоретическая возможность прямого численного моделирования «упирается» в низкую производительность существующих ЭВМ и не представляется возможной в обозримом будущем.

            Помимо методов расчета пограничного слоя, основанных на теории Буссинеска (называемых также полными по классификации, предложенной в [1]) в инженерно-научной практике исследования тепломассообменного оборудования широкое распространение получили интегральные и интегрально-параметрические методы расчета турбулентного пограничного слоя. Несомненным удобством последних, помимо очевидной простоты, является удобство встраивания в алгоритмы системного анализа промышленных процессов, не требующее отвлечения значительных вычислительных ресурсов и высокой квалификации инженерного персонала. Очевидным недостатком семейства интегральных методов расчета турбулентного пограничного слоя является то, что получаемые эмпирические и полуэмпирические уравнения обладают малой областью применения и фактически описывают лишь один из частных случаев.

            Очевидно, что семейство интегральных моделей переноса в турбулентном пограничном слое является эмпирически найденной наилучшей формой аппроксимации решения полных, дифференциальных, моделей, связывающее характерные величины процессов в пограничном слое с характерными величинами внешнего потока. Таким образом, при функциональном моделировании промышленных процессов и аппаратов интегральные модели могут быть применены как в ходе решения самих систем дифференциальных уравнений так и в ходе математического взаимодействия функционального блока системы пограничного слоя с системами более высокого порядка [2].

            Сложившийся же разрыв между дифференциальными и интегральными методами расчета вызван в основном недостаточным использованием методов функционального и системного моделирования в научно-инженерной практике.

            В данной работе приведены новые соотношения позволяющие, использовать преимущества как интегральных так и дифференциальных моделей.

            Так называемые полные полуэмпирические модели турбулентности, в основной своей массе, основаны на двух основных направлениях развития гипотезы Буссинеска: Прандтля-Кармана и Колмогорова. Стремительное увеличение производительности процессоров в последние десятилетия послужило толчком к развитию моделей турбулентного переноса моментов порядка второго и выше, основанных на гипотезе Колмогорова. Однако, как отмечено в работах [3], существенное усложнение вычислительных алгоритмов, сопровождающее использование таких моделей, зачастую не сопровождается увеличением точности вычислений по сравнению с моделями на основе моментов первого порядка, так называемых алгебраических. Во многом это связано со свойствами консервативности гидродинамического пограничного слоя, выражающимися в частности как:

            консервативность длины пути смешения в окрестности стенки (но вне вязкого подслоя) относительно градиента давления и сжимаемости;

            вырождение вязкого подслоя и пульсаций плотности при Re→∞ и, как следствие этого, существование предельных относительных законов трения, в общем виде не зависящих от интегральных констант турбулентности;

            значительная консервативность безразмерной толщины вязкого подслоя на непроницаемой поверхности.

            В рамках решения задач переноса в пограничном слое, вполне можно ограничиться алгебраическими моделями турбулентной вязкости в том числе и при сложных гидродинамических условиях.

            С другой стороны в ходе многочисленных экспериментов была установлена существенная консервативность теплового и диффузионного пограничных слоев по сравнению с гидродинамическим. Во многом этим (хотя и не только) объясняется нарушение гидродинамической аналогии для течений в сложных геометрических условиях. На рисунке 1 хорошо видно, что сравнительно небольшие изменения продольного градиента давления, как в положительную, так и в отрицательную сторону, слабо влияют на распределение относительной температуры по высоте пограничного слоя. И, напротив, распределение безразмерной продольной скорости, как показано на рисунке 2 довольно сильно зависит от изменения давления.

 

Рис. 1. Влияние продольного градиента давления на распределение температуры по сечению пограничного слоя [4]: кривая – расчет по формуле .

Обозначено:  - формпараметр градиентного течения;  - число Рейнольдса, вычисляемое по толщине потери импульса ; T – текущая температура по высоте пограничного слоя;  - температура на стенке;  - температура в ядре потока;  - толщина теплового пограничного слоя.

 

Рис. 2. Влияние продольного градиента давления на распределение скоростей по сечению пограничного слоя [4] кривая – расчет по формуле .

 

 

Здесь u – текущая средняя скорость по высоте пограничного слоя; U - скорость в ядре потока;  - толщина гидродинамического пограничного слоя.

            На основании вышесказанного возможно моделирование тепломассоотдачи в пограничном слое на основе гидродинамической аналогии не только в случае простых (канонических) течений, но и для течений, осложненных различными возмущающими факторами. В этом случае характеристики гидродинамического пограничного слоя рассчитываются также как и для невозмущенного течения, а учет возмущающих факторов учитывается с помощью эффективных (эквивалентных величин). Принципы подбора эквивалентных величин были сформулированы авторами [5]. В качестве таковых могут быть выбраны любые интегральные гидродинамические характеристики пограничного слоя, в совокупности достаточные для описания величины диссипации механической энергии в пограничном слое.

            В рамках данной работы в качестве эффективных величин используются динамическая скорость -  , максимальная разность скоростей по высоте пограничного слоя ,  - толщина пограничного слоя. В качестве эффективной, как правило, принимается толщина пограничного слоя - . Остальные величины находятся из гидродинамических условий осложненного течения.

            Для математической связи этих характеристик пограничного слоя используются следующие соотношения баланса импульса и диссипации энергии:

 

                                                                                               

 

                                                                .                                                           

 

Здесь  -касательное напряжение на стенке, Н/м²;  - осредненная скорость по потоку, м/с;   - среднеобъемная диссипация энергии в пограничном слое, Вт/м³;  - коэффициент переноса импульса, м/с [2; 6].

            Коэффициент переноса импульса может быть найден из следующего уравнения:

 

                                                        ,                                                   

 

где -плотность среды, кг/м³; -максимальная разность скоростей по высоте пограничного слоя, м/с;  - молекулярный и турбулентный коэффициенты кинематической вязкости соответственно, м²/с.

            В , очевидно, делается допущение о слабом относительном  изменении касательного напряжения  по высоте пограничного слоя: . Оно вполне правомерно для пристенной подобласти пограничного слоя, где сосредоточено основное сопротивление переносу, и подтверждено многочисленными сравнениями с экспериментальными данными [2; 6-7].

            Вид функции коэффициента переноса импульса в определяется видом исходных функций турбулентной вязкости .

            Выражения для некоторых функций коэффициента переноса импульса показаны в табл. 1.

 

 

Таблица 1 Выражения для коэффициентов переноса импульса в зависимости от исходной функции турбулентной вязкости

 

Обозначения в табл. 1:  =  - безразмерная координата по высоте пограничного слоя,  =  - безразмерная эффективная высота пограничного слоя;  - граница вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя, м;  - безразмерная граница вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя;  - коэффициент Прандтля.

            Коэффициент переноса тепла на основании вышеописанных положений вычисляется исходя из интегрального выражения гидродинамической аналогии:

 

                                                    ,                                              

 

                                                                             

 - коэффициент теплоотдачи, Дж/(м² ∙с),  - теплоемкость среды, Дж/(кг∙К);  - турбулентное и молекулярное число Прандтля соответственно.

            Также в упрощенном виде может использоваться выражение гидродинамической аналогии в форме:

 

                                                                                                                                    

 

            В качестве примера рассмотрим случай поперечного обтекание коридорного пучка труб.

            В [6] было получено выражение для коэффициента турбулентной вязкости в рамках вязкого подслоя:

 

                                                                 .                                                           

 

            Используя двухслойную модель турбулентного пограничного слоя (Прандтля) из получено:

 

                .          

; ; где χ и R₁-характеристики пограничного слоя; R₁=11,6; χ=0,4; -турбулентное число Прандтля, »1.

            Средняя движущая сила переноса импульса, м/с:

 

                                                                                                           

 

 

где - средняя скорость в узком сечении пучка, м/с;

            Влияние формы обтекаемых пучков учитывается с помощью полученного на основе в [12] выражения динамической скорости:

 

.                                                        (10)

 

Среднюю диссипацию энергии  в объеме пучка труб V представим через перепад давления ∆P:

 

                                                            (11)

 

где - средняя скорость в узком сечении пучка, м/с; a b – относительный поперечный и продольный шаг пучка соответственно, a=s₁/d; b=s₂/d; d-диаметр трубок, м; Н-длина труб, м.

Перепад давления ∆P, обусловленный сопротивлением трения и формы трубок, определяется по выражению [13]:

 

                                           (12)

 

где коэффициент, учитывающий угол атаки φ пучка труб , при φ=90 1; коэффициент, учитывающий шероховатость (рассматриваются абсолютно гладкие трубы ); χ-формпараметр, зависящий от a и b; отношение (ξ/χ) определяется по номограммам [13]; χ - по вспомогательному графику, в зависимости от комплекса ; z-количество рядов.

            Эффективная толщина пограничного слоя может быть вычислена по любому из уравнений в табл. 1.

Выполнен расчет коэффициентов теплоотдачи по выражениям (2) и (3) при поперечном движении однофазного потока в коридорных пучках труб (2×10³ ≥ Re ≥ 2×10⁵).

Результаты расчета коэффициента α и опытные данные [14] представлены на рис.3:

 

 

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что расчеты по уравнениям (6) и (8), удовлетворительно согласуется с известными экспериментальными данными.

Расхождение результатов составляет около 10-15%, что подтверждает справедливость использования обобщенной гидродинамической аналогии.

 

Список использованной литературы

 

1. Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. Тепло- и массообмен в пограничных слоях  / пер. Лыков А.В. - М.: Энергия, 1971.

2. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1993.

3. Лапин Ю.В. Статистическая теория турбулентности (прошлое и настоящее – краткий очерк идей) // Научно технические ведомости. 2004. 2.

4. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном cлое  - 2-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Лаптев А.Г., Дьяконов С.Г., Елизаров В.И. Математическое моделирование теплоотдачи при турбулентном обтекании пучков труб // Теплоэнергетика. 1992. № 12. с. 34-38.

6. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2007.

7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя  / пер. Вольперта Г.А.; под. ред. Лойцянского Л.Г. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 1974.

8. Кадер Б.А. К строению вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидксости // Изв. АН СССр Мех. жидк. и газа. 1966. №6. стр. 157-163.

9. Clauser F.H. The turbulent boundary layer. Advances in applied mechanics / Clauser F.H. - New York: Academic Press, Inc. , 1956: Vol. 4 - p. 2-51.

10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. пособие для вузов. – 7-е изд., испр. . - М.: Дрофа, 2003.

11. Энергоресурсосберегающие модернизации установок разделения и очистки газов и жидкостей на предприятиях нефтегазохимического комплексадис: д-ра техн. наук / Фарахов М.И. - Казань: КГТУ, 2009.

12. Соколов В.Н., Доманский И.В. Газожидкостные реакторы. - Л.: Машиностроение (Ленинградское отд-ние), 1976.

13. Жукаускас А.А. Конвективный переноса в теплообменниках. - М.: Наука, 1982.

14. Жукаускас А., Макарявичюс В.,  Шланчяускас А Теплоотдача пучков труб в поперечном потоке жидкости. - Вильнюс: «Минтис» 1968.