Построение второго дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3 × 3 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 10 раз

Библиографическое описание:

Худаяров С. С. Построение второго дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3 × 3 // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 110-112. — URL https://moluch.ru/archive/149/42198/ (дата обращения: 23.07.2018).



Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве. Пусть –две гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица

(1)

с линейными ограниченными операторами .

Пусть — множество комплексных чисел и – пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Следующие операторы

называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы и они играют важную роль в спектральном анализе этой матрицы. Видно, что дополнение Шура являются операторно-значные регулярные функции, определенные вне спектров операторов и , соответственно. Дополнение Шура сначала использовано в теории матриц [1].

Термин «дополнение Шура» было введено в работе [2].

Через обозначим -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Пусть – одномерное комплексное пространство, – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и – гильбертово пространство квадратично- интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

В гильбертовом пространстве рассмотрим следующую блочно- операторную матрицу

(1)

с матричными элементами

,

, ,

Здесь — фиксированное вещественное число, – вещественнозначные непрерывные функции на , а – вещественнозначная непрерывная функция на .

В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле (1), является ограниченным и самосопряженным. При этом сопряженный оператор к и

Наряду с оператором в гильбертовом пространстве рассмотрим еще блочно- операторную матрицу размера :

Далее, пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Тогда второе дополнение Шура блочно-операторной матрицы , соответствующее разложению , определяется следующим образом

После простых вычислений имеем, что

где

Имеют место следующие утверждение.

Утверждение 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет собственное значение, равное нулю и их кратности совпадают.

Утверждение 2. Пусть . Тогда . Из утверждений 1 и 2 вытекают следующие

Следствие 1. Пусть . Тогда .

Следствие 2. Пусть . Если (соот. ) при некотором , то существует число такое, что (соот. ).

Литература:

  1. Schur. Uber potenzreihen, die im innern des einheitskreises beschr¨ankt sint. J. Reine Angew. ¨ Math., 147 (1917), 205–232.
  2. E. V. Haynsworth. Determination of the inertia of a partitioned Hermitian matrix. Linear Algebra Appl., 1:1 (1968), 73–81. 2
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, блочно-операторная матрица, дополнение, оператор.


Похожие статьи

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Ключевые слова: операторная матрица, первое и второе дополнение Шура, пространство Фока, существенный и дискретные спектры. Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, оператор

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы , определяются по формулам.

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Тогда оператор всегда записывается в виде блочнооператорной матрицы.

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Ключевые слова: операторная матрица, первое и второе дополнение Шура, пространство Фока, существенный и дискретные спектры. Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, оператор

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы , определяются по формулам.

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Тогда оператор всегда записывается в виде блочнооператорной матрицы.

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

Задать вопрос