Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 7 раз

Библиографическое описание:

Худаяров С. С. Построение второго дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3 × 3 // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 110-112. — URL https://moluch.ru/archive/149/42198/ (дата обращения: 20.04.2018).



Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве. Пусть –две гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица

(1)

с линейными ограниченными операторами .

Пусть — множество комплексных чисел и – пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Следующие операторы

называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы и они играют важную роль в спектральном анализе этой матрицы. Видно, что дополнение Шура являются операторно-значные регулярные функции, определенные вне спектров операторов и , соответственно. Дополнение Шура сначала использовано в теории матриц [1].

Термин «дополнение Шура» было введено в работе [2].

Через обозначим -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Пусть – одномерное комплексное пространство, – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и – гильбертово пространство квадратично- интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

В гильбертовом пространстве рассмотрим следующую блочно- операторную матрицу

(1)

с матричными элементами

,

, ,

Здесь — фиксированное вещественное число, – вещественнозначные непрерывные функции на , а – вещественнозначная непрерывная функция на .

В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле (1), является ограниченным и самосопряженным. При этом сопряженный оператор к и

Наряду с оператором в гильбертовом пространстве рассмотрим еще блочно- операторную матрицу размера :

Далее, пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Тогда второе дополнение Шура блочно-операторной матрицы , соответствующее разложению , определяется следующим образом

После простых вычислений имеем, что

где

Имеют место следующие утверждение.

Утверждение 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет собственное значение, равное нулю и их кратности совпадают.

Утверждение 2. Пусть . Тогда . Из утверждений 1 и 2 вытекают следующие

Следствие 1. Пусть . Тогда .

Следствие 2. Пусть . Если (соот. ) при некотором , то существует число такое, что (соот. ).

Литература:

  1. Schur. Uber potenzreihen, die im innern des einheitskreises beschr¨ankt sint. J. Reine Angew. ¨ Math., 147 (1917), 205–232.
  2. E. V. Haynsworth. Determination of the inertia of a partitioned Hermitian matrix. Linear Algebra Appl., 1:1 (1968), 73–81. 2
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертовом пространстве, блочно-операторной матрицы, дополнение Шура, гильбертово пространство, Шура блочно-операторной матрицы, второго дополнения Шура, дополнениями Шура соответствующий, операторную матрицу, гильбертово пространство квадратично-интегрируемых, Дополнение Шура, пространство линейных ограниченных, линейный ограниченный оператор, операторную матрицу размера, ортогональной суммы гильбертовых, фиксированное вещественное число, отождествлением противоположных граней, комплексное пространство, собственным значением оператора, –две гильбертовы пространства, Блочно-операторная матрица.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос