Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях: разработка математической модели случайной величины



Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях: разработка математической модели случайной величины

Чамеев Василий Владимирович, кандидат технических наук, доцент;

Иванов Виктор Вячеславович, кандидат технических наук, доцент;

Ефимов Артём Евгеньевич, магистрант;

Гудиев Майрбек Русланович, студент;

Завьялов Данил Алексеевич, студент

Уральский государственный лесотехнический университет

Гаев Константин Юрьевич, учащийся 11 класса

МБОУ «Гимназия № 5» г. Екатеринбурга

Приведено математическое описание случайной величины — длительности раскроя сырья на лесообрабатывающем станке. Значения случайной величины могут быть получены в результате статистических наблюдений в производственных условиях или на имитационных моделях.

Ключевые слова: теория вероятностей, математическая статистика, лесообрабатывающий станок, длительность раскроя лесоматериалов на станке

Лесопромышленное производство больше, чем другие отрасли, подвержено воздействию природных факторов. Это воздействие носит хаотический, случайный характер и приводит к соответствующим колебаниям как производительности отдельных машин, так и всего процесса [1]. Для исследования функционирования сложных систем лесопромышленного производства (примеры сложных систем в систематизированном виде приведены в работе [2]) в качестве исходных данных для моделирования необходимо иметь количественные значения характеристик природно-производственных условий и их влияние на показатели технологических процессов. Некоторые данные по этому поводу приведены в учебных пособиях [3, 4, 5]. Среди математических наук, которые позволяют определять параметры функционирования сложных лесотехнических систем, подверженных воздействию случайных факторов, следует на одно из первых мест поставить теорию вероятностей и математическую статистику. Центральное место в этих науках занимает изучение случайной величины. Случайная величина полностью характеризуется типом вероятностного теоретического распределения, средним арифметическим и средним квадратическим отклонением и учитывает все факторы вместе воздействующие на процесс.

Длительность цикла (основная составляющая для расчета производительности) лесосечных машин, оборудования нижних лесных складов, лесообрабатывающих станков, транспортных средств является случайной величиной [6, 7, 8 и др.]. При этом, тип вероятностного теоретического распределения случайной величины и ее параметры зависят от конкретных условий протекания технологического процесса. Например, распределение интервалов времени выполнения операций раскроя сырья и полуфабрикатов в лесоперерабатывающих цехах описывается в зависимости от конкретных условий производства вероятностными распределениями: нормальным, логарифмически нормальным, Эрланга и экспоненциальным. Преобладающим распределением, описывающим длительность операций раскроя лесоматериалов на станках является логарифмически нормальное (52,1 %), нормальным распределением можно описать 31 % серий. С распределением Эрланга и экспоненциальным согласуется только 16,1 % серий хронометражных наблюдений [9].

Следовательно, можно считать доказанным, что время цикла машин и механизмов в лесной отрасли является случайной величиной и описывается вероятностными распределениями. Лесопромышленные предприятия периодически обновляют свой машинный и станочный парк. Для расчета пропускной способности машинных и станочных систем важно знать технологические возможности элементов этих систем (машин, станков). Изучение работы новых машин и станков должно базироваться на статистических данных, собранных в производственных условиях. В данной работе рассматривается возможность получения значений случайной величины на имитационных моделях. Данная статья является первой из цикла «Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях».

Цель и задачи исследования.

Цель исследования: оценить производительность лесопильной рамы вероятностными методами.

Задачи исследования:

− провести хронометражные замеры длительностей распиловки бревен на лесопильной раме;

− провести статистическую обработку замеров и построить вероятностную модель длительностей распиловки бревен на лесопильной раме;

− оценить производительность лесопильной рамы вероятностными методами.

Экспериментальное исследование.

Определение числа наблюдений.

Одним из важнейших показателей результатов эксперимента является их представительность (репрезентативность), характеризующая достоверность и точность результатов, полученных из ограниченного числа измерений.

Для выбора числа наблюдений применяют таблицу достаточно больших чисел. Таблица составлена на основании формулы, возникающей при доказательстве теоремы Бернулли, и показывает, как достаточно большое число наблюдений зависит от степени достоверности (вероятности ) и величины допустимой ошибки [10]. При исследовании лесотехнических объектов обычно принимаюти . Для этих значений [10]. Следует заметить что число наблюдений получается завышенным.

В практике обычно пользуются формулой:

,

где определяют по таблице значений интеграла вероятностей [10] (для).

Коэффициент вариации для лесозаготовительных и лесоперерабатывающих машин примерно постоянен и равен 0,333 [6].

Для более точного расчета необходимо сделать пробную выборку значений изучаемой случайной величины (самое малое число наблюдений при котором можно вычислять основные статистические показатели, должно быть не менее 10 [10]).

Пробная выборка объемом 30 наблюдений приведена в таблице 1. Коэффициент вариации для этой выборки: .

Таблица 1

Пробная выборка значений случайной величины (длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме)

Значения , с

124, 67, 100, 108, 112, 146, 102, 127, 74, 105, 176, 100, 78, 100, 135, 81, 98, 103, 126, 95, 93, 125, 105, 80, 141, 146, 74, 117, 124, 100

Выборочное среднее Выборочное среднее квадратическое отклонение

При выборе числа наблюдений следует также иметь ввиду, что минимальный объем выборки при проверке ее на сходимость гипотетическим, теоретическим, вероятностным распределением по критерию должен составлять не менее 100 (некоторые исследователи считают, что хватит и 50 [6]). Сравнение полученных значений наводит на мысль, что объем пробной выборки не достаточен. Принимаем компромиссный вариант: .

Проведение наблюдений за случайной величиной.

Как уже указывалось выше, значения случайной величины можно получить в результате натурных наблюдений в производственных условиях лесообрабатывающего цеха. При наличии имитационных моделей целесообразно значения случайной величины получать с использовании датчика случайных чисел. Значения случайной величины (табл. 2) получены по компонент-программе СТАНОК [12] комплекс-программы ЦЕХ [13]. Применение имитационных моделей расширяет диапазон исследований, снижает затраты на сбор статистических данных.

Таблица 2

Журнал наблюдений за случайной величиной Х— длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме

Значения , с
43	44	36	22	54	37	32	63	56	45
21	44	34	58	72	42	37	34	20	17
33	30	33	31	67	31	19	50	28	41
38	31	41	24	44	29	36	36	38	20
37	45	40	30	31	30	27	25	36	30
50	29	27	26	45	32	39	45	24	21
34	27	63	21	46	21	37	37	54	18
45	45	25	38	36	40	36	49	41	30
30	28	60	38	39	42	39	46	50	44
18	23	40	43	54	50	27	29	36	39
41	32	41	30	46	41	25	32	43	33
45	47	25	25	42	26	49	24	29	35
65	29	44	25	25	26	34	30	27	27
25	47	34	26	31	38	41	24	46	37
36	33	49	46	22	28	35	37	19	38
22	69	30	16	41	29	32	65	32	27
33	61	29	20	25	22	24	25	33	41
30	28	50	45	32	27	33	34	20	24
33	22	31	44	31	25	43	33	49	46
24	40	75	46	28	46	50	35	29	50
28	45	56	33	29	31	38	40	27	37
48	29	26	17	30	39	24	33	30	58
25	34	24	70	41	24	29	46	24	28
22	30	32	38	33	36	34	52	22	68
28	25	34	39	28	37	34	36	61	22
Объем выборки ;

Для статистической обработки экспериментальных данных значения случайной величины целесообразно ранжировать по форме таблицы 3, разработанной в УЛТИ (УГЛТУ) [14]. Такая форма таблицы удобна для быстрой группировки значений случайной величины по интервалам.

Ранжирование значений случайной величины.

Таблица 3

Вариационный ряд значений случайной величины — длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме

	10	20	30	40	50	60	70
0		::	::::::.	::.	:::.	.	.
1		::	::::	:::::		:
2		::::	::::	:.	.		.
3		.	::::::	::		:
4		:::::.	:::::	:::	:.
5		::::::.	:.	::::.		:	.
6	.	::.	:::::	::::.	:
7	:	::::.	::::.	:		.
8	:	::::.	::::	.	:	.
9	:	:::::.	:::	::		.

Группировка значений случайной величины по интервалам.

При большом числе наблюдений значения случайной величины группируют по интервалам (разрядам) и представляют графически в виде гистограммы.

Количество интервалов определяется по формуле Стерджеса Г. А.:

,

где — объем выборки.

Величина интервала (шаг):

,

где и — максимальное и минимальное значения случайной величины.

Методика построения таблицы для группировки значений случайной величины по интервалам ясна из таблицы 4.

Таблица 4

№интервала	Интервал	Середина интервала	Частота
1
2
3
…	…	…
…	…	…
…	…	…

На основании таблицы 3 и вычисленных параметров группировки в таблице 5 представлена группировка значений длительностей распиловки бревен на лесопильной раме по интервалам, а на рисунке 1 графическое представление группировки, называемое гистограммой.

Таблица 5

Группировка значений случайной величины (длительность распиловки

бревен на лесопильной раме) по интервалам

№интервала	Интервал (разряд), с	Середина интервала, с	Частота
1		19,5	23
2		26,5	59
3		33,5	64
4		40,5	45
5		47,5	38
6		54,5	6
7		61,5	7
8		68,5	6
9		75,5	2
Шаг: 7

Рис. 1. Гистограмма для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме

Определение основных статистик эмпирического распределения и оценка близости его к нормальному распределению

Выборочное среднее по сгруппированным данным:

,

где — частота;

— объем выборки.

Наряду со средним значением, которое указывает центр распределения, крайне важно знать степень рассеяния различных значений случайной величины около среднего значения. Наилучшими статистиками, характеризующими рассеяние, является выборочная дисперсия:

и выборочное среднее квадратическое отклонение:

или

,

где — второй центральный момент в единицах измерения.

Безразмерной величиной, характеризующей меру изменчивости вариационного ряда, является коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации показывает насколько велико рассеяние по сравнению со средним значением случайной величины.

Удаление сомнительных крайних значений вариационного ряда

Если какое-либо значение нормально распределенной случайной величины резко отличается от остальных значений (это касается крайних значений вариационного ряда), то его проверяют на принадлежность к выборке по формуле:

Если неравенство выполняется, то значение исключается из выборки и все перечисленные выше статистики пересчитываются. Для крайних значений таблицы 3 имеем:

При имеем . Следовательно, значения и следует исключить из выборки. Объем выборки составит:

.

Пересчитываем статистики

.

Варианты гистограмм для случайной величины.

Таблица 6

Группировка значений случайной величины (длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме) по интервалам

№интервала	Вариант А				Вариант Б			Вариант В
	Интервал, с				Интервал, с			Интервал, с
1			19,5	23		19	15		23	41
2			26,5	59		25	47		29	55
3			33,5	64		31	61		35	52
4			40,5	45		37	46		41	36
5			47,5	38		43	37		47	31
6			54,5	6		49	23		53	11
7			61,5	7		55	6		59	7
8			68,5	6		61	7		65	5
9			75,5	2		67	6		71	4
Шаг: 7					Шаг: 6			Шаг: 6
№ интервала	Вариант Г				Вариант Д
	Интервал, с				Интервал, с
1		20		24		21,5	32
2		28		79		28,5	68
3		36		66		35,5	60
4		44		48		42,5	43
5		52		16		49,5	24
6		60		9		56,5	7
7		68		6		63,5	7
8		76		2		70,5	5
9
Шаг: 8					Шаг: 7

Рис. 2. Гистограммы для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме

Эмпирические кривые распределения почти всегда в большей или меньшей степени отличаются от нормального распределения (например, см. рис. 1). Для количественной оценки отклонения служат показатели асимметрии и эксцесса. У нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю:

; ,

где и — центральные моменты в единицах измерения 3-его и 4-ого порядков.

Среднюю ошибку показателя асимметрии вычисляют по формуле:

Среднюю ошибку показателя эксцесса находят по формуле:

или

,

где — объем выборки.

Зная величины , , и можно судить о близости эмпирической кривой распределения к соответствующей ей кривой нормального распределения. Если и меньше трех, то и эмпирической кривой не имеют существенного значения и вариационный ряд можно считать подчиняется нормальному закону.

Основные статистики эмпирического распределения, приведенного в таблице 5 и на рисунке 1, получены с использованием программы «ПИРСОН» и введены в таблицу 7.

Таблица 7

Основные статистики эмпирического распределения иоценка близости его кнормальному распределению

Статистическая характеристика	Обозначение	Значение
1-ый начальный момент		35,56048
2-ой начальный момент		1461,610
3-ий начальный момент		64501,135
4-ый начальный момент		3110806,071
2-ой центральный момент		120,0689
3-ий центральный момент		1393,222
4-ый центральный момент		69950,561
Выборочное среднее		35,56048
Средне квадратическое отклонение
Асимметрия		1,059
Эксцесс		1,85
Выборочный коэффициент вариации		0,308
Средняя ошибка показателя асимметрии
Средняя ошибка показателя эксцесса
		6,79
		5,95

Эмпирическое распределение случайной величины (длительность цикла распиловки бревен на лесопильной раме) имеет положительную асимметрию и положительный эксцесс. Но отношения и больше трех, что указывает на то, что на длительность цикла лесопильной рамы оказывал влияние какой-либо производственный фактор доминирующий над совокупностью остальных.

Выбор предположения о виде закона распределения случайной величины.

В лесозаготовительных процессах чаще могут встречаться следующие основные виды распределения случайной величины: показательное (экспоненциальное), нормальное, логарифмически нормальное, гамма, эрланговское и ряд других [6].

Если найден закон и параметры случайной величины, то она перестает быть неизвестной. Для анализа статистическое (эмпирическое) распределение необходимо заменить теоретическим. Теоретическое распределение свободно от тех случайных колебаний, которые наблюдаются в статистических распределениях вследствие ограниченного числа наблюдений. Однако, как бы хорошо не была подобрана теоретическая кривая распределения между нею и статическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Проверка того, не противоречит ли предполагаемое распределение опытным данным, решается с помощью критерия согласия. Наиболее часто применяется критерий согласия Пирсона . Критерий Пирсона дает возможность оценить степень согласованности предполагаемого теоретического с эмпирическим распределением. Один из способов оценки сходимости — нахождение вероятности . Если полученная вероятность весьма мала (настолько мала, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то гипотезу о предполагаемом теоретическом законе распределения случайной величины следует отбросить как неправдоподобную. Наоборот, если сравнительно велика, можно признать расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением значительным.

При исследовании технологических процессов обычно считают, что если не меньше , то гипотетическое распределение хорошо согласуется с опытными данными (по другим источникам граничным значением берется [10]).

Следует сказать, что с помощью критерия (или любого другого критерия согласия) можно только в некоторых случаях опровергнуть предполагаемую гипотезу (и отбросить ее как явно не согласную с опытными данными); если же вероятность велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а указывает только на то, что гипотеза не противоречит данным наблюдений и не исключена возможность математического описания технологической операции каким-либо другим распределением. При пользовании критерием Пирсона количество данных в каждом интервале должно быть не менее 5. Если число наблюдений в различных интервалах мало, то такие интервалы объединяют [10].

Таблица 8

Степень близости эмпирического распределения случайной величины (длительность распиловки бревен на лесопильной раме) ктеоретическим вероятностным распределениям

Вариант группировки	Значения и при проверке на сходимость на теоретическое вероятностное распределение
	Нормальное		логнормальное		гамма		экспоненциальное
		,%		,%		,%		,%
А	44,641	0,0	35,048	0,0	11,955	6,3	96,364	0,0
Б	40,524	-0,1	38,567	0,0	8,406	21,0	95,037	0,0
В	49,202	0,0	40,603	-0,1	8,073	23,3	37,948	0,0
Г	43,828	-0,1	10,664	5,8	3,780	58,2	97,559	0,0
Д	46,981	-0,1	21,896	0,0	5,385	37,1	64,448	0,0

Как видно из таблицы 8 наилучшим образом статистическое распределение случайной величины описывается теоретической кривой гамма распределения.

Гамма распределение обязано своим названием гамма функции. Гамма распределение имело большое значение в классических методах и служит основой для построения современных методов статистического исчисления [10]. Гамма распределение соответствует кривой распределения Пирсона III-го типа [10,15]. В теории массового обслуживания гамма распределение иногда называют распределением Эрланга. Гамма распределение переходит в экспоненциальное, когда параметр формы распределения равен нулю [16] и тесно связано с нормальным распределением [10].

Если воздействие одного или нескольких факторов из большого их числа, влияющего на случайную величину, значительно превосходит по силе воздействия все остальные факторы, то распределение случайной величины приобретает положительную асимметрию, что может быть описано гамма распределением [17].

Дифференциальная функция или плотность функции гамма распределения имеет вид [16, 18, 19; 20].

, или , [19]

где — параметр масштаба; — параметр формы.

Интегральная функция [16]:

,

где — неполная гамма функция, табулированная К. Пирсоном.

Числовые характеристики статистического распределения и их оценка.

По данным программы «ПИРСОН» статистические характеристики после увеличения шага до 8 имеют следующие значения (для варианта группировки Г):

1. выборочное среднее , с 36,448 с
2. выборочное среднее квадратическое отклонение , с.
3. выборочный коэффициент вариации

Основные ошибки статистических показателей.

Основная ошибка среднего значения:

Основная шибка среднего квадратического отклонения:

Основные шибки указывают пределы внутри которых с вероятностью 0,683 находится неизвестное значение параметра.

Показатель точности исследования среднего значения:

Показатель точности исследования среднего квадратического отклонения:

В технологических расчетах 5 % показатель точности исследования считается достаточным. Среднее квадратическое отклонение определено с гораздо большей точностью, среднее значение меньше, но не на много.

Доверительные границы для среднего значения:

,

где (для вероятности и величины допустимой ошибки ).

Доверительные границы для среднего квадратического отклонения:

,

где — табличная величина, определяемая по (число наблюдений) и [20]. Для и [20].

Таким образом неизвестное значение математического ожидания и среднего квадратического отклонения находятся с вероятностью 0,683 в диапазонах:

Анализ интегральной функции распределения случайной величины.

Предварительно рассмотрим некоторое свойство случайной величины [21].

Функция распределения случайной величины : .

Для любой случайной величины вероятность попадания случайной величины на участок оси абсцисс от до выражается формулой: .

Так как для непрерывной случайной величины , то знак равенства в этом случае можно отбросить , или в других обозначениях: .

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная функции распределения:

Элементом вероятности для непрерывной случайной величины называется величина , приближенно равная вероятности попадания случайной величины на элементарный отрезок , примыкающий к точке : .

Плотность любой случайной величины неотрицательна () и обладает свойством: .

График плотности называется кривой распределения.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок от до определяется выражением: .

Функция распределения непрерывной случайной величины выражается через ее плотность: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью называется ее среднее значение, выражаемое по формуле: .

Когда надо обозначать одной буквой, будем писать: .

Дисперсия непрерывной случайной величины : .

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины: .

Среднее квадратическое отклонение может быть применено для ориентировочной оценки диапазона возможных значений случайной величины. При этом пользуются так называемым правилом трех сигм, состоящим в том, что диапазон практически возможных значений случайной величины не выходит за пределы: .

На рис. 3 приведена интегральная функция гамма распределения длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме построенная по результатам статистической обработки значений случайной величины (вариант группировки Г).

Рис. 3. Интегральная функция гамма распределения длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме (для варианта группировки Г)

Используя приведенные формулы для анализа рис. 3, имеем:

− вероятность попадания случайной величины (длительность распиловки бревен на лесопильной раме) в интервал , то есть как видно практически достаточно ;

− вероятность попадания случайной величины в интервал ;

− вероятность того, что случайная величина не превысит равна 0,570.

Выводы.

Проведенные исследования технологической операции раскроя бревен на лесопильной раме показали возможность их математического описания.

Выявлена целесообразность для математического описания технологических процессов лесообрабатывающих цехов применения математической статистики и теории вероятностей.

Обработка экспериментальных данных показала возможность описания технологических процессов дифференциальными и интегральными законами распределения времени протекания этих процессов.

Исследования показали, что параметры теоретических вероятностных законов зависят от ряда случайных и не случайных факторов.

Математические модели случайной величины находят применение в традиционных и аналитических методах расчёта, в имитационном моделировании процессов, в системах автоматизированного проектирования, …

Проведенная работа является начальным этапом математического моделирования технологических процессов лесообрабатывающих цехов лесопромышленных предприятий.

За рубежом проводятся аналогичные исследования [22, 23].

Литература:

1. Обвинцев В. В. Проведение статистических исследований в лесоперерабатывающих цехах леспромхозов / Н. В. Лившиц, В. В. Обвинцев, В. В. Чамеев // Науч. тр. / СНИИЛП. — Лесоэксплуатация. — Свердловск, Средне-Уральское изд-во. – 1977. С. 128–133.
2. Сложные системы в лесопромышленном производстве / В. В. Чамеев, Ю. В. Ефимов, В. В. Иванов; Урал. гос. лесотехн. ун-т.- Екатеринбург, 2015. – 183 с. – Деп. в ВИНИТИ 14.12.2015, № 211-В2015.
3. Чамеев В.В., Природно-производственные условия лесного фонда и размерно-качественная характеристика деревьев и хлыстов: Учеб. пособие / В. В. Чамеев, Б. Е. Меньшиков, В. В. Обвинцев. – Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2001. – 108 с. (Сер. Основы проектирования лесопромышленных производств. Системный подход).
4. Чамеев В. В. Размерно-качественная характеристика сортиментов: Учеб. пособие / В. В. Чамеев, В. В. Обвинцев, Б. Е. Меньшиков, Е. В. Гаева. — Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2002. – 102 с. (Сер.: Основы проектирования лесопромышленных производств. Системный подход).
5. Чамеев В. В. Основы проектирования лесопромышленных предприятий на ЭВМ: Учеб. пособие / В. В. Обвинцев, В. В. Чамеев, Б. Е. Меньшиков, В. В. Терентьев. Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2003. — 150 с. (Сер.: Основы проектирования лесопромышленных производств. Системный подход).
6. Редькин А. К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок: Учебник для вузов / А. К. Редькин. — М.: Лесн. пром-сть, 1988. – 256 с.
7. Алябьев В. И. Оптимизация производственных процессов на лесозаготовках / В. И. Алябьев — М.: Лесн. пром-сть, 1977. – 232 с.
8. Пижурин А. А. Основы моделирования и оптимизации процессов деревообработки: Учебник для вузов / А. А. Пижурин, М. С. Розенблит. М.: Лесн. пром-сть, 1988. 296 с.
9. Обвинцев В. В. Математическое описание операций раскроя сырья и полуфабрикатов в лесоперерабатывающих цехах леспромхозов / Н. В. Лившиц, В. В. Обвинцев, В. В. Чамеев // Межвуз. сб. науч. тр. /Ленингр. лесотех. акад. 1977. Вып. 6. Лесосечные, лесоскладские работы и сухопутный транспорт леса. С. 106–110.
10. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений / А. К. Митропольский — М.: Наука, 1971.- 576 с. (Физико-математическая библиотека инженера)
11. Труль О. А. Математическая статистика в лесном хозяйстве: Учебное пособие для лесохозяйственных факультетов вузов / О. А. Труль — Минск: Высшая школа, 1966. 234 с.
12. Чамеев В. В. Математические модели формирования длительности цикла для станочного оборудования / Г. Л. Васильев, Ю. Ф. Ефимов, А. А. Манаков, В. В. Чамеев // Молодой ученый. – 2015. – № 13(93). Часть I. С. 100–105.
13. Чамеев В. В. Алгоритмы и машинные программы для исследования технологических процессов лесообрабатывающих цехов: архитектура комплекс программы «ЦЕХ» / В. В. Чамеев, С. Б. Якимович, Ю. Ф. Ефимов, Г. Л. Васильев // Молодой ученый. 2015. № 10 (90). Часть III. С. 357–360.
14. Обвинцев В. В. Исследование и разработка математической модели транспортно-переместительных операций в тарных цехах: Отчет о НИР/УЛТИ N 44/73; Руководитель Н. В. Лившиц; исполн. В. В. Обвинцев, В. В. Чамеев и др.; № ГР 73021740; Инв. N Б388743. — Свердловск, 1974. – 73 с.
15. Уилкс С. Математическая статистика / Пер. с анг. / C. Уилкс; Под ред. Ю. В. Линника. — М.: Наука, 1967. – 632 с.
16. Справочник по надёжности / Пер. с англ.; Под ред. Б. Р. Левина. Том 1. М.: Мир, 1969. – 340 с.
17. Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов / Г. В. Суходольский. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1972. – 630 с.
18. Худсон Д. Статистика для физиков: Лекции по теории вероятностей и элементарной статистике / Пер. с анг. — 2-е изд. доп. / Д. Худсон — М.: Мир, 1970. – 296 с.
19. Дунин-Барковский И. В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть). / И. В. Дунин-Барковский, Н. В. Смирнов. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.
20. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — Учеб. пособие для втузов / В. Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1975. – 334 с.
21. Вентцель Е. С. Прикладные задачи теории вероятностей / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.
22. Prasanna Sahoo. Probability and Mathematical Statistics. – Department of Mathematics University of Louisville. Louisville, KY 40292 USA. — 2013. – 713 p.
23. Oscar Sheynin. Probability and Statistics [Электронный ресурс]. Berlin: 2004. – 131 p. Режим доступа: http: // www.sheynin.de (Дата обращения 16.06.2016)