Познакомимся с системой линейных дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом. Покажем решения таких систем методом последовательных приближений. Решения заданных систем дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом ищем в виде следующих функциональных рядов:

(1)

В этих выражениях все и функции на правой части, пока неизвестные функции, если найдем все эти функции, тогда решается заданный пример Способ решения таких задач рассмотрим в следующих примерах:

Пример. Пусть задана следующая система линейных дифференциальных уравнений с частными производными с запаздывающим аргументом:

(2)

где, и- неравные нулю постоянные числа

В эту систему подставляя функциональные ряды (1), получим две тождества. Сравнивая коэффициенты при находим неизвестные и :

Интегрируя по , получаем:

Еще раз интегрируя по в итоге вытекает:

Продолжая этот процесс получаем следующее:

Точно также

Последующие члены тоже находятся этим способом.

Теперь подставляя все выражения для и в функциональные ряды (1) получим общее решения системы:

Здесь и следующие:

произвольные фунции, используя это произвольность функций из (3) находим разные частные решения заданной задачи. Например, мы можем взять или . Тогда мы получаем простые решения заданной задачи с запаздывающим аргументом.

Литература:

1. М. С. Салахитдинов, Г. Н. Насритдинов. “Обыкновенные дифференциальные уравнение”, Tошкент, 1982 г.
2. Ш. Т. Максудов. Элементы линейных интегральных уравнений. Ташкент, 1975 (на узбекском языке).
3. И. И. Привалов. Интегральные уравнение. Гостехиздат, М. 1935.
4. У. В. Ловитт. Линейные интегральные уравнение. Гостехиздат, М. 1957.