Понятие дифференциальных уравнений и их развитие

В данной статье рассматриваются современные взгляды развития дифференциального уравнения и его значение в обучении. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик и различных факторов на развитие математики.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

Уравнение, содержащее производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением. Скорость изменения функции в точке определяется производными функции. Дифференциальное уравнение связывает эти производные с другими функциями. Дифференциальные уравнения в основном используются в областях биологии, физики, техники и многих других. Основное назначение дифференциального уравнения состоит в изучении решений, удовлетворяющих уравнениям, и изучении свойств решений. Давайте обсудим определение, типы, методы решения дифференциального уравнения, порядок и степень дифференциального уравнения, типы дифференциальных уравнений, примеры из реальной жизни и практические задачи.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну производную неизвестной функции, либо обыкновенную производную, либо частную производную. Предположим, что скорость изменения функции y по отношению к x обратно пропорциональна y, мы выражаем ее как dy/dx = k/y.

В исчислении дифференциальное уравнение — это уравнение, которое включает производную (производные) зависимой переменной по отношению к независимой переменной (переменным). Производная представляет собой не что иное, как скорость изменения, а дифференциальное уравнение помогает нам представить отношение между изменяющейся величиной по отношению к изменению другой величины. y=f(x) — функция, где y — зависимая переменная, f — неизвестная функция, x — независимая переменная. Несколько примеров:

1. (dy/dx) = sin x
2. (d ² y/dx ² ) + k ² y = 0
3. (d ² y/dt ² ) + (d ² x/dt ² ) = x
4. (d ³ y/dx ³ ) + x(dy/dx) — 4xy = 0
5. (rdr/dθ) + cosθ = 5

Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения:

dy/dx = ex, (d4y/dx4) + y = 0, (d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0

В приведенных выше примерах дифференциальных уравнений старшие производные имеют первый, четвертый и третий порядок соответственно.

Вы можете видеть в первом примере, что это дифференциальное уравнение первого порядка, которое имеет степень, равную 1. Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Он имеет только первую производную, такую как dy/dx, где x и y — две переменные, и представляется как: dy/dx = f(x, y) = y'.

Дифференциальное уравнение второго порядка

d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”.

Степень дифференциальных уравнений

Если дифференциальное уравнение представимо в полиномиальной форме, то интегральная степень возникающей производной старшего порядка называется степенью дифференциального уравнения. Степень дифференциального уравнения — это степень старшей производной, присутствующей в уравнении. Чтобы найти степень дифференциального уравнения, нам нужно иметь положительное целое число в качестве индекса каждой производной.

Дифференциальные уравнения классифицируются как:

— Обыкновенные дифференциальные уравнения

— Уравнения с частными производными

«Обыкновенное дифференциальное уравнение», также известное как ОДУ, представляет собой уравнение, которое содержит только одну независимую переменную и одну или несколько ее производных по переменной. Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение представляется как отношение, имеющее одну независимую переменную x, вещественную зависимую переменную y, с некоторыми ее производными y', y”, …y*n. по x. Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть однородным или неоднородным.

Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, в котором степени всех членов одинаковы, называется однородным дифференциальным уравнением. В общем случае их можно представить как P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где P(x,y) и Q(x,y) — однородные функции одной степени.

Неоднородное дифференциальное уравнение

Пример: xy(dy/dx) + y ² + 2x = 0 не является однородным дифференциальным уравнением.

Одним из видов неоднородного дифференциального уравнения является линейное дифференциальное уравнение, аналогичное линейному уравнению. Дифференциальное уравнение вида (dy/dx) + Py = Q (где P и Q — функции от x) называется линейным дифференциальным уравнением.

(dy/dx) + Py = Q (где P, Q — константы или функции y).

Уравнение в частных производных

Уравнение, включающее только частные производные одной или нескольких функций двух или более независимых переменных, называется уравнением в частных производных, также известным как УЧП.

Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Решение дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, поскольку процесс нахождения решения дифференциального уравнения включает в себя интегрирование. Решение дифференциального уравнения — это выражение зависимой переменной через независимую переменную, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Решение, содержащее столько же произвольных констант, называется общим решением. Если мы придаем частные значения произвольным константам в общем решении дифференциального уравнения, полученное решение называется частным решением. Результат исключения одной произвольной константы дает дифференциальное уравнение первого порядка, а результат исключения двух произвольных констант приводит к дифференциальному уравнению второго порядка и так далее.

Литература:

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744 c.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 c.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 c.

5. Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике. Часть 2 / А. А. Гусак. — М.: Вышэйшая школа, 2013. — 384 c.