Отсутствие общего метода отыскания интегрирующего множителя, если неизвестно общее решение исходного уравнения, приводит к необходимости исследования решений отдельных типов дифференциальных уравнений, сводящихся к уравнениям в полных дифференциалах.

Рассмотрим уравнение следующего вида:

Оно является уравнением в полных дифференциалах при условии, что его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Это возможно при выполнении условия

Из приведенного выше следует, что для решения уравнения (1) необходимо найти функцию полный дифференциал от которой равен левой части уравнения (1) соответственно:

Затем необходимо проинтегрировать любое из двух уравнений (3), причем интегрировать первое уравнение нужно по x, а второе по y. Причем интегрируя первое уравнение по х будем считаем y константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(y) — неизвестную функция зависящую от y. интегрируя второе уравнение по y будем считаем x константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(x) — неизвестную функция зависящую от x.

Подставляя, полученное в результате интегрирования по x первого из уравнений (3), выражение во второе из уравнений (3) находят C(y). В случае интегрирования по y второго из уравнений (3) получившееся выражение подставляют в первое из уравнений (3) и находят C(x).

Отсюда следует что общий интеграл исходного уравнения в полных дифференциалах представляется в виде:

Рассмотрим применение данного метода на следующем примере:

Пример № 1. Решить уравнение

Удостоверимся в том, что представленное дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах. [1, c. 25]

Для этого сначала представим его в стандартном виде

И проверим выполняется ли условие (2) для уравнения (5)

Делаем вывод о том, что дифференциальное уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию удовлетворяющую следующим условиям

Для этого проинтегрируем по x первое из уравнений (8), принимая y за константу, а значение постоянной интегрирования С за С(y) — неизвестную функцию, зависящую от y.

Подставляя во второе из уравнений (8) найдем C(y)

Общее решение уравнения (5) имеет вид

Найдем решение уравнения (5) другим методом, который называется методом выделения полного дифференциала. Данный метод также применяется для отыскания интегрирующего множителя.

И сразу получаем решение

На данном примере видно, что удобней и быстрей применить метод выделения полного дифференциала и сразу записать общий интеграл исходного уравнения. Однако этот метод хорошо работает только в случаях, когда коэффициенты при дифференциалах являются интегрируемыми в квадратурах функциями.

Пример № 2. Привести к уравнению в полных дифференциалах

Найдем интегрирующий множитель. В данной ситуации мы имеем дело с частным случаем, когда интегрирующий множитель зависит только от x.

Умножив уравнение (14) на полученное значение получим искомое уравнение в полных дифференциалах

Приведенные выше примеры демонстрируют простоту нахождения общих интегралов дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, при условии правильного определения оптимального метода в каждом конкретном случае.

Литература:

1. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. / А. Ф. Филиппов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 176 с.