Авторы: Маматова Нилуфар Хусеновна, Меражова Шахло Бердиевна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 11 раз

Библиографическое описание:

Маматова Н. Х., Меражова Ш. Б. Постановка задачи для построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С. Л. Соболева непериодических функций // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 13-14.



В математике и ее приложениях постоянно приходится иметь дело с приближенными представлениями функций. Классическими аппаратами таких представлений являются многочлены и рациональные дроби.

Пусть даны пары , .

Проблема интерполирования состоит в нахождении функции такой, что

(),

и интерполирует в узлах. Говорят о полиномиальном интерполировании, если является алгебраическим полиномом, тригонометрической аппроксимации, если — тригонометрический полином, или кусочно-полиномиальной интерполяции (или сплайн-интерполяции), если является только локально полиномиальным.

Задача полиномиальной интерполяции — найти полином , называемый интерполяционным полиномом, такой, что

.

Точки называются узлами интерполяции.

Многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения для функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью.

В этой работе рассматривается постановка задачидля построения интерполирования в пространстве Соболева непериодических функций, у которых обобщенные производные порядка интегрируемы с квадратом.

Значение

ошибки интерполяционной формулы в некоторой точке есть функционал над классом функцией :

(1)

где

(2)

функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы интерполяционной формулы (1), , –дельта-функция Дирака, .

Коэффициенты связаны линейными условиями

(3)

Функционал -ограниченныйи линейный в пространстве , а его норма определяется равенством

Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы на функциях пространства сводится к нахождению нормы функционала (2) в сопряженном пространстве .

Итак, для оценки погрешности интерполяционной формулы (1) достаточно решить следующую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности рассматриваемой интерполяционной формулы .

Эта задача решается в случае, когда существует так называемая экстремальная функция интерполяционной формулы, т. е. такая функция , для которой выполняется следующее равенство

Очевидно, что норма функционала погрешности зависит от коэффициентов и узлов .

Если

,(4)

тогда функционал называетсяоптимальнымфункционалом погрешности, а соответствующуюая интерполяционная формула–оптимальной интерполяционной формулой.

Таким образом для того чтобы построить оптимальную интерполяционную формулу надо решить следующую задачу

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (4).

и соответсвенно называются оптимальными коэффици-ентами и оптимальными узламиинтерполяционной формулы (2.1).

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974.-808 с.
  2. Шадиметов Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. Дис. докт. физ.-мат. наук. -Ташкент, 2002. -218 с.
  3. Хаётов А. Р. Об оптимальных интерполяционных формулах в пространстве // Узб. матем. журн. –Ташкент, 2010. № 2. -С. 173–179.
Основные термины (генерируются автоматически): интерполяционной формулы, Соболева непериодических функций, функционала погрешности, оптимальной интерполяционной формулы, погрешности интерполяционной формулы, пространстве периодических функций, норма функционала погрешности, оптимальными узламиинтерполяционной формулы, приближенными представлениями функций, Задача полиномиальной интерполяции, пространстве Соболева непериодических, функция интерполяционной формулы, Построение оптимальных квадратурных, узлами интерполяции, оптимальных интерполяционных формулах, Оптимальные решетчатые квадратурные, кусочно-полиномиальной интерполяции, формула–оптимальной интерполяционной формулой, задачидля построения интерполирования, кубатурные формулы.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос