Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 23 ноября, печатный экземпляр отправим 27 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (159) июнь 2017 г.

Дата публикации: 27.06.2017

Статья просмотрена: 44 раза

Библиографическое описание:

Давронов Ж. Р. Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности // Молодой ученый. — 2017. — №25. — С. 4-6. — URL https://moluch.ru/archive/159/44896/ (дата обращения: 14.11.2019).



Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство

.

Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой

По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения

(1)

для любой функции из . Здесь — функция из пространства , определяется единственным образом по функционалу и является его экстремальной функцией. Интегрируя по частям выражения в правой части равенства (1) и используя периодичность функций и , получаем равенство

Таким образом, экстремальная функция является обобщенным решением уравнения

(2)

с граничными условиями

Для экстремальной функции имеет место следующая

Теорема 1.1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности

определяется формулой

(3)

где является полиномом Бернулли, – константа.

Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [1], cвертка двух функций определяется формулой

Применяя к обеим частям равенства (2) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])

получаем

(4)

В силу (4) правая часть равенства (4) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (4) делятся на .

Функция определяется из (4) до выражения

Но, как известно, периодическое решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2), является константой, тогда все члены, кроме до последнего выражения, должны быть отброшены. Таким образом, из (4) имеем

Отсюда, с учетом

и

имеем

Применяя к обеим частям последнего равенства обратное преобразование Фурье, получаем

Отсюда, используя определение полинома Бернулли , получим (3)

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974.
  2. Шадиметов Х. М. Дискретный аналог дифференциального оператора и его построение// Вопросы вычислительной и прикладной математики: Сб. науч. тр. Ташкент, ИК АН Узбекистана, -вып. 79, 1985. –С. 22–35. arXiv:1001.0556 [NA.math].
  3. Шадиметов Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. Дис. докт. физ.-мат. наук. -Ташкент, 2002. -218 с.
Основные термины (генерируются автоматически): экстремальная функция, скалярное произведение, правая часть равенства, функция.


Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

скалярное произведение в , определенное равенством и согласованное с нормой в ; — билинейная форма, заданная на , , ; — шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим. Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение. . Теорема доказана для любой вектор функции из пространства...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное.

Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, . Здесь и вещественнозначные непрерывные функции на .

, их скалярное произведение определяется по равенству: , где.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

со скалярным произведением.

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

Теорема 2.Функция. является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

Осциллирующая функция | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Пусть имеется евклидово пространство, элементами которого являются функции аргумента , со скалярным произведением .

Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности. Обсуждение.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Пространство Фока и его обрезанные подпространства

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, то их скалярное произведение определяется по равенству

Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Разрешимость одной краевой задачи для...

скалярное произведение в , определенное равенством и согласованное с нормой в ; — билинейная форма, заданная на , , ; — шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим. Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение. . Теорема доказана для любой вектор функции из пространства...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное.

Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, . Здесь и вещественнозначные непрерывные функции на .

, их скалярное произведение определяется по равенству: , где.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

со скалярным произведением.

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

Теорема 2.Функция. является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

Осциллирующая функция | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Пусть имеется евклидово пространство, элементами которого являются функции аргумента , со скалярным произведением .

Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности. Обсуждение.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Пространство Фока и его обрезанные подпространства

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, то их скалярное произведение определяется по равенству

Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

скалярное произведение в , определенное равенством и согласованное с нормой в ; — билинейная форма, заданная на , , ; — шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим. Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение. . Теорема доказана для любой вектор функции из пространства...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное.

Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, . Здесь и вещественнозначные непрерывные функции на .

, их скалярное произведение определяется по равенству: , где.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

со скалярным произведением.

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

Теорема 2.Функция. является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

Осциллирующая функция | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Пусть имеется евклидово пространство, элементами которого являются функции аргумента , со скалярным произведением .

Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности. Обсуждение.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Пространство Фока и его обрезанные подпространства

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, то их скалярное произведение определяется по равенству

Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Разрешимость одной краевой задачи для...

скалярное произведение в , определенное равенством и согласованное с нормой в ; — билинейная форма, заданная на , , ; — шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции

Спектральные разложения минимального... | Молодой ученый

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим. Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение. . Теорема доказана для любой вектор функции из пространства...

Спектральные разложения квазидифференциальных операторов

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций и , то превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное.

Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, . Здесь и вещественнозначные непрерывные функции на .

, их скалярное произведение определяется по равенству: , где.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

со скалярным произведением.

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

Теорема 2.Функция. является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

Осциллирующая функция | Статья в журнале «Молодой ученый»

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Пусть имеется евклидово пространство, элементами которого являются функции аргумента , со скалярным произведением .

Экстремальная функция и представление нормы функционала погрешности. Обсуждение.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть и -скалярное произведение и норма в , соответственно.

Пространство Фока и его обрезанные подпространства

Скачать Часть 1 (pdf). Библиографическое описание

, то их скалярное произведение определяется по равенству

Если рассмотрим симметричные функции [2], то получается стандартное бозонное пространства Фока, в случае антисимметричных функций получается...

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.

Задать вопрос