Авторы: Жураев Зариф Шарипович, Шафиев Турсун Рустамович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 8 раз

Библиографическое описание:

Жураев З. Ш., Шафиев Т. Р. К оценке погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве С. Л. Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 11-13.



Рассмотрим кубатурную формулу общего вида

(1)

над пространством С. Л. Соболева . Здесь, соответственно, и являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1), — весовая функция, , -мерный тор и — порядок обобщенных производных и .

Определение 1. Множество , где , т. е. дробная доля , называется -мерным тором.

Определение 2. Пространство — определяется как пространство функций, заданных на - мерном торе и имеющих все обобщенные производные порядка суммируемые с квадратом в норме [1–4]

(2)

со скалярным произведением

(3)

где — коэффициенты Фурье, т. е. .

Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.

называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция

(4)

и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь — характеристическая функция .

Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева — это вычисление следующей величины:

(5)

где — сопряженное пространство к пространству . Для оценки погрешности кубатурной формулы необходимо решить следующую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.

Сначала мы должны вычислить норму функционала погрешности в пространстве , а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя и , необходимо решить следующую задачу

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы (1) с заданием производных. Для нахождения нормы функционала погрешности (4) в пространстве используется его экстремальная функция.

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен

(6)

где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Справедлива следующая

Теорема 2.Функция

является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса имеет оценку: [4]

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
  2. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
  3. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
  4. Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Ташкент, 1975. — 102 с.
Основные термины (генерируются автоматически): кубатурной формулы, функционала погрешности, нормы функционала погрешности, погрешности кубатурной формулы, норму функционала погрешности, формулы общего вида, кубатурной формулы общего, функционала погрешности весовой, погрешности кубатурных формул, функционалом погрешности кубатурной, оценки погрешности кубатурной, узлами кубатурной формулы, следующую задачу, нахождения нормы функционала, 1.Квадрат нормы функционала, Задача построения оптимальных, вычисление следующей величины, обобщенные производные порядка, пространством равен, пространством Соболева.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос