К оценке погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве С. Л. Соболева | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Жураев З. Ш., Шафиев Т. Р. К оценке погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве С. Л. Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 11-13. — URL https://moluch.ru/archive/114/30052/ (дата обращения: 18.08.2018).



Рассмотрим кубатурную формулу общего вида

(1)

над пространством С. Л. Соболева . Здесь, соответственно, и являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1), — весовая функция, , -мерный тор и — порядок обобщенных производных и .

Определение 1. Множество , где , т. е. дробная доля , называется -мерным тором.

Определение 2. Пространство — определяется как пространство функций, заданных на - мерном торе и имеющих все обобщенные производные порядка суммируемые с квадратом в норме [1–4]

(2)

со скалярным произведением

(3)

где — коэффициенты Фурье, т. е. .

Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.

называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция

(4)

и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь — характеристическая функция .

Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева — это вычисление следующей величины:

(5)

где — сопряженное пространство к пространству . Для оценки погрешности кубатурной формулы необходимо решить следующую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.

Сначала мы должны вычислить норму функционала погрешности в пространстве , а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя и , необходимо решить следующую задачу

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы (1) с заданием производных. Для нахождения нормы функционала погрешности (4) в пространстве используется его экстремальная функция.

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен

(6)

где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Справедлива следующая

Теорема 2.Функция

является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса имеет оценку: [4]

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
  2. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
  3. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
  4. Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Ташкент, 1975. — 102 с.
Основные термины (генерируются автоматически): формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.


Похожие статьи

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул...

Постановка проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования в современном понимании выглядит как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности , заданного на некотором пространстве функций.

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]. (1). В пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е. И , Где — сферическая гармоника порядка вида .

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

формула, функция, экстремальная функция, норма функционала погрешности, обобщенная производная порядка, пространство.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Постановка задачи для построения оптимальной...

интерполяционная формула, задача, норма функционала погрешности, оптимальная интерполяционная формула, оценка погрешности.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

Рассмотрим кубатурную формулу вида. (1). Над пространством Соболева , где — -мерный единичный куб. Обобщённая функция. (2). Называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1), Является погрешностью кубатурной формулы (1)...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул...

Постановка проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования в современном понимании выглядит как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности , заданного на некотором пространстве функций.

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]. (1). В пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е. И , Где — сферическая гармоника порядка вида .

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

формула, функция, экстремальная функция, норма функционала погрешности, обобщенная производная порядка, пространство.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Постановка задачи для построения оптимальной...

интерполяционная формула, задача, норма функционала погрешности, оптимальная интерполяционная формула, оценка погрешности.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

Рассмотрим кубатурную формулу вида. (1). Над пространством Соболева , где — -мерный единичный куб. Обобщённая функция. (2). Называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1), Является погрешностью кубатурной формулы (1)...

Задать вопрос