Авторы: Эшонкулов Хамза Илхомович, Жураев Зариф Шарипович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 4 раза

Библиографическое описание:

Эшонкулов Х. И., Жураев З. Ш. Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных формул в пространстве Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 26-29.



В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]

(1)

в пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е.

и ,

где — сферическая гармоника порядка вида . Здесь индекс получен в результате нумерации сферических функций одного и того же порядка и меняется в пределах

— число линейно независимых сферических гармоник порядка . Функции будем считать ортогональными на сфере .

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид:

, (2)

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1).

Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Теорема 1. Норма функционала погрешности кубатурной формулы (1) над пространством равна

,

где

.

Доказательство. Известно [2], что если , то для абсолютной и равномерной сходимости ряда

,

где — сферические гармоники порядка , достаточно выполнение условия .

Таким образом, функция может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по сферическим гармоникам

, (3)

где — сферические гармоники порядка вида ;

; — число линейно независимых сферических гармоник:

.

Подставляя (3) в левую часть (1), находим

,

. (4)

Если в правой части (4) умножить на , а кубатурную сумму разделить на этот множитель и применить неравенство Коши, то получим

. (5)

Из (5) следует

. (6)

Для того чтобы получить равенство (6) рассмотрим функцию

, (7)

где

. (8)

Так как для сферических функций имеет место оценка

max ,

то из определения (8) коэффициентов ряда (7) следует, что

.

Вычислив погрешность кубатурной формулы (3) для этой функции, получим следующее равенство:

. (9)

Сопоставляя (6) и (9) находим, что

,

где является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1), т. е. — функция Рисса для функционала погрешности , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Равенство (9) подтверждает, что

,

действительно, является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и , где - ортонормированная сферическая гармоника порядка , вида и - число линейно независимых сферических гармоник порядка .

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.
  2. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. — Ташкент: Фан, 1985.
  3. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
Основные термины (генерируются автоматически): кубатурной формулы, сферических гармоник порядка, погрешности кубатурной формулы, сферическая гармоника порядка, независимых сферических гармоник, функционала погрешности, экстремальной функцией, гармоника порядка вида, узлы кубатурной формулы, функционала погрешности кубатурной, нумерации сферических функций, сферические гармоники порядка, мерная единичная сфера, ортонормированная сферическая гармоника, оптимальных квадратурных формул, равномерной сходимости ряда, Кубатурные формулы, теорию кубатурных формул, пространстве периодических функций, функция Дирака.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос