Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных формул в пространстве Соболева | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Эшонкулов Х. И., Жураев З. Ш. Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных формул в пространстве Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 26-29. — URL https://moluch.ru/archive/114/30055/ (дата обращения: 19.12.2018).



В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]

(1)

в пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е.

и ,

где — сферическая гармоника порядка вида . Здесь индекс получен в результате нумерации сферических функций одного и того же порядка и меняется в пределах

— число линейно независимых сферических гармоник порядка . Функции будем считать ортогональными на сфере .

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид:

, (2)

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1).

Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Теорема 1. Норма функционала погрешности кубатурной формулы (1) над пространством равна

,

где

.

Доказательство. Известно [2], что если , то для абсолютной и равномерной сходимости ряда

,

где — сферические гармоники порядка , достаточно выполнение условия .

Таким образом, функция может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по сферическим гармоникам

, (3)

где — сферические гармоники порядка вида ;

; — число линейно независимых сферических гармоник:

.

Подставляя (3) в левую часть (1), находим

,

. (4)

Если в правой части (4) умножить на , а кубатурную сумму разделить на этот множитель и применить неравенство Коши, то получим

. (5)

Из (5) следует

. (6)

Для того чтобы получить равенство (6) рассмотрим функцию

, (7)

где

. (8)

Так как для сферических функций имеет место оценка

max ,

то из определения (8) коэффициентов ряда (7) следует, что

.

Вычислив погрешность кубатурной формулы (3) для этой функции, получим следующее равенство:

. (9)

Сопоставляя (6) и (9) находим, что

,

где является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1), т. е. — функция Рисса для функционала погрешности , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Равенство (9) подтверждает, что

,

действительно, является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и , где - ортонормированная сферическая гармоника порядка , вида и - число линейно независимых сферических гармоник порядка .

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.
  2. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. — Ташкент: Фан, 1985.
  3. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
Основные термины (генерируются автоматически): сферическая гармоника порядка, экстремальная функция, сферическая гармоника порядка вида, функционал погрешности, формула, функция.


Похожие статьи

Алгоритм автономного контроля целостности навигационного поля

Последовательность проведения расчета и используемые рабочие формулы приведены ниже [4].

— коэффициент при второй зональной гармонике разложения геопотенциала в ряд по сферическим функциям, равный –1082,62575*10–6

Повышение эффективности процесса энергоснабжения

В работе рассматривается гармоническая составляющая функции спроса объема электроэнергии, которая в общем виде задается по формуле: F(x) =Asin ( x + ) (1). где A — амплитуда гармоники, - частота гармоники, - начальная фаза.

Преобразование Фурье и преобразование Хартли

Ключевые слова:преобразование Хартли, преобразование Фурье, cas функция, действительная и мнимая часть.

Преобразование Хартли функции f(t) определяется: Где ɷ может быть угловой частотой и это косинус и синус или ядро Хартли.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

формула, функция, экстремальная функция, норма функционала погрешности, обобщенная производная порядка, пространство.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Волновые функции электрона в квантовых точках...

С учётом сферической симметрии, а также вида потенциала находим решение уравнение Шредингера по методу разделения переменных: где — радиальная часть волновой функции в соответствующих областях (i= 1 — ядро, i= 2 — оболочка); — сферические гармоники, l= 0,1,2...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

где — гамма–функция Эйлера. Функция Бесселя представима в виде

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

Далее введя функцию напряжений в срединной поверхности в виде [2].

Подставляя первое выражение (8) в четвертое уравнение системы (7) и приравнивая в обеих частях этого уравнения коэффициенты при одинаковых гармониках тригонометрических функций...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Алгоритм автономного контроля целостности навигационного поля

Последовательность проведения расчета и используемые рабочие формулы приведены ниже [4].

— коэффициент при второй зональной гармонике разложения геопотенциала в ряд по сферическим функциям, равный –1082,62575*10–6

Повышение эффективности процесса энергоснабжения

В работе рассматривается гармоническая составляющая функции спроса объема электроэнергии, которая в общем виде задается по формуле: F(x) =Asin ( x + ) (1). где A — амплитуда гармоники, - частота гармоники, - начальная фаза.

Преобразование Фурье и преобразование Хартли

Ключевые слова:преобразование Хартли, преобразование Фурье, cas функция, действительная и мнимая часть.

Преобразование Хартли функции f(t) определяется: Где ɷ может быть угловой частотой и это косинус и синус или ядро Хартли.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

формула, функция, экстремальная функция, норма функционала погрешности, обобщенная производная порядка, пространство.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Волновые функции электрона в квантовых точках...

С учётом сферической симметрии, а также вида потенциала находим решение уравнение Шредингера по методу разделения переменных: где — радиальная часть волновой функции в соответствующих областях (i= 1 — ядро, i= 2 — оболочка); — сферические гармоники, l= 0,1,2...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

где — гамма–функция Эйлера. Функция Бесселя представима в виде

Численное моделирование задач о флаттере вязкоупругих систем

Далее введя функцию напряжений в срединной поверхности в виде [2].

Подставляя первое выражение (8) в четвертое уравнение системы (7) и приравнивая в обеих частях этого уравнения коэффициенты при одинаковых гармониках тригонометрических функций...

Задать вопрос