Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Фатеев Д. С., Сабурова В. В., Клочков К. С. Функции Бесселя // Молодой ученый. — 2016. — №9. — С. 23-26. — URL https://moluch.ru/archive/113/29488/ (дата обращения: 24.10.2018).



Функции Бесселяв математике — семействофункций, являющихся каноническими решениямидифференциального уравненияБесселя:

где — произвольноевещественное число(в общем случае комплексное), называемоепорядком.

Функцию Бесселя индекса можно определить рядом:

где — гамма–функция Эйлера.

Функция Бесселя представима в виде:

Где:

(3)

По признаку Даламбера ряд сходится равномерно при всех , , где и — произвольные числа. Так как члены ряда представляют собой целые функции по переменной при фиксированном и по переменной при фиксированном , то является целой функцией при любом комплексном и целой функцией при любом фиксированном комплексном .

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Для классических уравнений Бесселя с неотрицательным параметром и ограниченными в нуле решениями существуют рекуррентные соотношения вида:

и эти соотношения могут быть получены из общего вида классического уравнения Бесселя (1).

Также можно получить еще пару рекуррентных отношений, но для трех функций Бесселя:

Функции Бесселя первого рода

Функции Бесселя первого рода представляются в виде:

Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрицательного индекса :

где —гамма-функция Эйлера.

Если функции (7) и (8) являются функциями целого индекса, , то их связывает линейное соотношение

то есть они линейно зависимы и не могут быть выбраны в качестве фундаментальной системы уравнения Бесселя.

Если же k не является целым числом, и линейно независимы.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу , необходимо найти второе, линейно-независимое от , частное решение. Для этого вводится новая функция, называемая функцией Бесселя второго рода.

Функции Бесселя второго рода

Функция Бесселя второго рода имеет вид:

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

Функция Вебера (10) является решением уравнения (1) и при .

Очевидно, и являются линейно независимыми, следовательно, при любом образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Тогда решение уравнения (1) можно представить в виде их линейной комбинации:

Свойства

Продифференцируем по ряд

Справа получим:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы дифференцирования:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы приведения:

  1. Свойство ортогональности функций Бесселя

Для любого k и любых корней функции верно равенство

  1. Если -нуль функции , то

Пример краевой задачи

Требуется определить закон колебаний круглой мембраны. Математическая модель свободных колебаний круглой мембраны радиуса с закреплённым краем имеет вид следующей краевой задачи для определения поперечного смещения мембраны:

где и — заданные смещения и скорость различных участков мембраны в начальный момент времени соответственно.

Решение этой задачи представляется в виде:

где и — функции Бесселя первого и второго рода

Применение:

Функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

‒ Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

‒ Теплопроводность в цилиндрических объектах;

‒ Формы колебания тонкой круглой мембраны

‒ Распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

‒ Скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси и др.

Литература:

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие / Сост.: В. И. Зубов. — М.: МФТИ, 2007. — 51 с.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: 2-e изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с.
Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.


Похожие статьи

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род. функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при .

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона.

Разрешимость одной краевой задачи для...

краевая задача, оператор, неравенство, непрерывный оператор, решение задачи, равенство, функция множества, любой, измеримая функция, вспомогательное утверждение.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл

Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.

Решение методом продолжения задач математической физики...

решение задачи, краевая задача, нечетная функция, область, краевое условие, задача, уравнение, функция, параболический тип, III.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2]...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род. функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при .

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона.

Разрешимость одной краевой задачи для...

краевая задача, оператор, неравенство, непрерывный оператор, решение задачи, равенство, функция множества, любой, измеримая функция, вспомогательное утверждение.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл

Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.

Решение методом продолжения задач математической физики...

решение задачи, краевая задача, нечетная функция, область, краевое условие, задача, уравнение, функция, параболический тип, III.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2]...

Задать вопрос