Библиографическое описание:

Фатеев Д. С., Сабурова В. В., Клочков К. С. Функции Бесселя // Молодой ученый. — 2016. — №9. — С. 23-26.



Функции Бесселяв математике — семействофункций, являющихся каноническими решениямидифференциального уравненияБесселя:

где — произвольноевещественное число(в общем случае комплексное), называемоепорядком.

Функцию Бесселя индекса можно определить рядом:

где — гамма–функция Эйлера.

Функция Бесселя представима в виде:

Где:

(3)

По признаку Даламбера ряд сходится равномерно при всех , , где и — произвольные числа. Так как члены ряда представляют собой целые функции по переменной при фиксированном и по переменной при фиксированном , то является целой функцией при любом комплексном и целой функцией при любом фиксированном комплексном .

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Для классических уравнений Бесселя с неотрицательным параметром и ограниченными в нуле решениями существуют рекуррентные соотношения вида:

и эти соотношения могут быть получены из общего вида классического уравнения Бесселя (1).

Также можно получить еще пару рекуррентных отношений, но для трех функций Бесселя:

Функции Бесселя первого рода

Функции Бесселя первого рода представляются в виде:

Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрицательного индекса :

где —гамма-функция Эйлера.

Если функции (7) и (8) являются функциями целого индекса, , то их связывает линейное соотношение

то есть они линейно зависимы и не могут быть выбраны в качестве фундаментальной системы уравнения Бесселя.

Если же k не является целым числом, и линейно независимы.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу , необходимо найти второе, линейно-независимое от , частное решение. Для этого вводится новая функция, называемая функцией Бесселя второго рода.

Функции Бесселя второго рода

Функция Бесселя второго рода имеет вид:

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

Функция Вебера (10) является решением уравнения (1) и при .

Очевидно, и являются линейно независимыми, следовательно, при любом образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Тогда решение уравнения (1) можно представить в виде их линейной комбинации:

Свойства

Продифференцируем по ряд

Справа получим:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы дифференцирования:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы приведения:

  1. Свойство ортогональности функций Бесселя

Для любого k и любых корней функции верно равенство

  1. Если -нуль функции , то

Пример краевой задачи

Требуется определить закон колебаний круглой мембраны. Математическая модель свободных колебаний круглой мембраны радиуса с закреплённым краем имеет вид следующей краевой задачи для определения поперечного смещения мембраны:

где и — заданные смещения и скорость различных участков мембраны в начальный момент времени соответственно.

Решение этой задачи представляется в виде:

где и — функции Бесселя первого и второго рода

Применение:

Функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

‒ Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

‒ Теплопроводность в цилиндрических объектах;

‒ Формы колебания тонкой круглой мембраны

‒ Распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

‒ Скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси и др.

Литература:

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие / Сост.: В. И. Зубов. — М.: МФТИ, 2007. — 51 с.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: 2-e изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Функции Бесселя, Бесселя второго рода, уравнения Бесселя, функций Бесселя, Функции Бесселя второго, классического уравнения Бесселя, системы уравнения Бесселя, функцией Бесселя второго, Функция Бесселя второго, классических уравнений Бесселя, трех функций Бесселя, решение уравнения, решением уравнения, целой функцией, общее решение уравнения, систему решений уравнения, рекуррентные соотношения вида, фиксированном комплексном, признаку Даламбера ряд, пару рекуррентных отношений.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос