Диофантовы уравнения: от древности до наших дней | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (68) июнь-2 2014 г.

Дата публикации: 03.06.2014

Статья просмотрена: 2691 раз

Библиографическое описание:

Жмурова И. Ю., Ленивова А. В. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней // Молодой ученый. — 2014. — №9. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/68/11503/ (дата обращения: 21.09.2018).

Статья посвящена одному из разделов теории чисел — диофантовым уравнениям — как средству реализации интеграционных связей математического образования.

Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… и, чтобы дать ученикам искорку знаний, учителю надо впитать целое море света.

В. А. Сухомлинский.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне. Поэтому в современных условиях значительно повышается необходимость создания оптимальной системы интегративного содержания образования и процесса обучения. Интеграция является сегодня одной из определяющих тенденций познавательного процесса. Одним из средств реализации интеграционных связей математического образования является использование историко-математических сведений в учебном процессе [4, 5]. В частности, решение старинных задач в формулировке первоисточников, изучение истории их решения, сравнение различных методов решения подобных задач позволяет достичь указанные цели.

В связи с вышеизложенным, тема «Диофантовы уравнения», то есть уравнения в целых и рациональных числах, является одной из актуальных в современном отечественном математическом образовании. Особенно важным является то, что в последнее время диофантовы уравнения различного вида стали одним из источников формирования базы задач типа С6 Единого Государственного Экзамена по математике Российской Федерации.

Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики.

Проследим, как осуществлялось развитие и происходило становление теории диофантовых уравнений. Если обратиться к истории, то можно заметить, что конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения.

Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу. В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта. Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков — Франсуа Виета и Пьера Ферма.

Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39–48].

Итак, сформулируем определение понятия «диофантово уравнение»: линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида , где коэффициенты  — целые числа, а неизвестные  являются целыми или рациональными числами. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.

В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано  многочленов от  переменных,  с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество  всех рациональных решений системы

                                                                                                         (1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение  называется рациональным, если все  [2, c. 42].

Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т. е. к случаю :

                                                                                                                   (2)

Это уравнение определяет на плоскости  алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой  [1, c. 15].

Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где  и  — рациональные функции [1, c. 23].

При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:

1)                 имеет ли уравнение целочисленные решения;

2)                 конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

3)                 решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;

4)                 решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

5)                 решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

-        использование алгоритма Евклида;

-        использование цепных дробей;

-        способ перебора вариантов;

-        использование сравнений [3].

Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:

1)                 не иметь решений в целых числах;

2)                 иметь конечное число решений в целых числах;

3)                 иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].

При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.

На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно [3]:

-       метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;

-       метод разложения на множители;

-       метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение;

-       метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных;

-       метод бесконечного (непрерывного) спуска;

-       метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;

-       метод, основанный на выделении полного квадрата.

Далее рассмотрим несколько примеров решения диофантовых уравнений, а именно: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение и метод разложения на множители.

1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения

Решение.Выразим из уравнения переменную  через : .

Так как  и  — натуральные числа, то , , , .

Показывает перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются , .

Ответ:  [3, c. 13].

Пример 2. Решить в целых числах уравнение .

Решение.

1)       Правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .

2)       Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

,

следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

, следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, ни при каких целых  левая часть уравнения на 3 не делится, а правая часть — делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решении не имеет.

Ответ: решений нет [3, c. 15].

2. Метод разложения на множители.

Данный метод применяется в случаях, когда в уравнениях можно применить какой-либо из способов разложения на множители:

-        Формулы сокращенного умножения;

-        Вынесение общего множителя за скобку и т. д.

Итак, охарактеризуем метод разложения на множители на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах .

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители .

Выпишем все делители числа 91: , , , .

Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел  и  число , следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение  равносильно совокупности систем уравнений:

.

Решив системы, получим:

1)                 первая система имеет решения , ;

2)                 вторая система решений в целых числах не имеет;

3)                 третья система имеет решения , ;

4)                 четвертая система решений в целых числах не имеет.

Пример 2. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение.Проведем цепочку равносильных преобразований:

 ó  ó  ó  ó .

Так как  можно представить в виде двух целых чисел с учетом порядка двумя способами, т. е. , получаем две системы:

 или .

Решением первой системы является пара , а второй — .

Ответ: ,  [3, c. 17–19].

Оказывается, что некоторые текстовые задачи практического содержания также можно свести к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Покажем данный прием на конкретных примерах.

Задача № 1

Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа  за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа  за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа  будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа  входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа ?

Решение.Пусть в автобус типа B входит k человек, а в автобус типа A входит k+7 человек.

Пусть каждый из трех автобусов типа B сделает по m рейсов, а каждый из двух автобусов типа A — по m+1.

Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей, то получим уравнение: .

При k> 14 получаем:  или .

Число k — 14 — один из восьми делителей числа . Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар k и m): (14; 44), (16; 23), (17; 16), (20; 9), (21; 8), (21; 5), (35; 4), (56; 3).

Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные : 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 504.

Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа В (по 15 человек) или двумя автобусами типа А (по 22 человека) за 45 рейсов.

Задача 2. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решение.Пусть в каждой из коробок лежит 3 пакетика, по n шариков в каждом. Во втором случае коробок x + 2, пакетиков в коробке 2, а шариков в пакетике n+ 3. По условию задачи получаем уравнение: , откуда .

Заметим, что из  следует, что , откуда .

Учитывая, что числа n и x натуральные, получаем, что  — натуральный делитель числа 36.

Количество шариков при этом .

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при  и монотонно возрастает при . Следовательно, наибольшее значение функции  достигается, если  — наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.

Если , то , .

Если , то , .

Ответ: 840 шариков [7, c. 27–28].

Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах — один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни — последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.

Литература:

1.      Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: «Наука», 1972 г.

2.      Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: «Наука», 1984 г.

3.      Гринько Е. П., Головач А. Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. — Брест, 2013 г.

4.      Жмурова И. Ю., Бесперстова А. Ю. Использование историко-математических сведений в курсе теории чисел // Молодой ученый. — 2013. — № 10

5.      Жмурова И. Ю., Коршунова Л. А. Элективный курс «Эйлеровы графы» как средство реализации интеграционных связей математики // Молодой ученый. — 2013. — № 5

6.      Корянов А. Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. — Брянск, 2010 г.

7.      Шевкин А. В., Пукас Ю. О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. — М.: «Экзамен», 2014г.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, автобус типа, решение, число, целое, левая часть уравнения, метод разложения, задача, математическое образование, полный перебор.


Похожие статьи

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

4. Способ разложения левой части на множители.

Левую часть уравнения разложим на множители: . Таким образом уравнение запишется так

5. Способ выделения полного квадрата. Например: Решить уравнение

Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части уравнения на множители.

Метод выделения полного квадрата.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Автоматизация решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и

Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения гиперболического типа его конечно-разностной...

Применение метода математической индукции к решению задач...

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Автоматизация решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

Методические аспекты обучения младших школьников...

В процессе решения задачи осуществляется анализ — расчленение целого на части

При «неформальном» методе решения задач важен процесс составления различных вариантов.

- задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех вариантов

Методы извлечения квадратного корня

Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод ( , ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

4. Способ разложения левой части на множители.

Левую часть уравнения разложим на множители: . Таким образом уравнение запишется так

5. Способ выделения полного квадрата. Например: Решить уравнение

Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части уравнения на множители.

Метод выделения полного квадрата.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Автоматизация решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и

Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения гиперболического типа его конечно-разностной...

Применение метода математической индукции к решению задач...

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Автоматизация решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

Методические аспекты обучения младших школьников...

В процессе решения задачи осуществляется анализ — расчленение целого на части

При «неформальном» методе решения задач важен процесс составления различных вариантов.

- задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех вариантов

Методы извлечения квадратного корня

Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод ( , ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Задать вопрос