Оптимальные способы решения квадратных уравнений | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 23 ноября, печатный экземпляр отправим 27 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Кайрат Е. Е. Оптимальные способы решения квадратных уравнений // Молодой ученый. — 2017. — №10.1. — С. 39-42. — URL https://moluch.ru/archive/144/40411/ (дата обращения: 15.11.2019).



Проблема: Решение квадратных уравнений нерациональным способом. Изучив данную тему в 8 классе, учащиеся в старших классах забывают и порой не видят неполные квадратные уравнения и решают их как полные квадратные уравнения, а на это тратится гораздо больше времени. А это потеря времени существенна при сдаче экзамена по математике в форме ЕНТ.

Цель: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и отобрать среди них самые оптимальные и быстрые способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Еще в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н. э. умели решать квадратные уравнения. Необходимость решать их возникла, когда нужно было решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков. Правила решения вавилонян по существу совпадают с современными, только их решения даны в виде рецептов, без указания способов их нахождения.

В Древней Индии, в 7-ом веке индийский ученый Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bx = c, a >0; в этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Его правило совпадает с настоящим правилом решения квадратных уравнений. Уже в то время в Древней Индии решали задачи, приводимые к составлению квадратных уравнений, где использовали метод выделения полного квадрата.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Всем известная теорема Виета была сформулирована впервые в 1591 г., однако он не признавал отрицательных чисел и при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Однако символика Виета была далека от современного вида. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение. Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа.

Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения.

В школьном курсе математики изучаются следующие способы решения квадратных уравнений:

1. Решение с помощью формул корней квадратного уравнения. Таким способом можно решать любые квадратные уравнения.

2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

3. Решение с помощью теоремы Виета, с ее помощью решаются квадратные уравнения с целыми корнями (а = 1), эти корни без труда находятся подбором.

В настоящее время можно привести еще несколько способов решения квадратных уравнений:

4. Способ разложения левой части на множители.

Например: Решим уравнение:

Левую часть уравнения разложим на множители:

.

Таким образом уравнение запишется так:

. Произведение двух множителей равно нулю тогда только тогда, когда один из множителей равен нулю, т. е. или , отсюда x= -10 , или x = 2.

5. Способ выделения полного квадрата

Например: Решить уравнение:

.

x1=1, или x+3=-4, x2=-7.

6. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x1;0) и D(x2;0), где x1 и x2 – корни уравнения , и проходит через точки A(0;1) и C(0;c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD= OA • OC, откуда OC= OB • OD/OA= x1x2/ 1= c/a

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD

итак:

1) Построим точки (центр окружности) и A(0;1);

2) Проведем окружность с радиусом SА;

3) Абсцисс точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Этот старый и забытый способ решения квадратных уравнений.

Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам.

8. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

Решим уравнение х2+6х-16=0

х2+6х=16, или х2+6х+9=16+9.

Выражения х2+6х+9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение х2+6х-16+9-9=0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что х+3=±5, или х1=2, х2=-8

9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления озникшей трудности используется следующий прием: «перебросить» коэффициент а в свободный член (умножить свободный член на а). После этого найти корни нового уравнения и разделить их на а.

Приведем пример. Решить уравнение: 12х2 +13х +3 = 0; а= 12,

Таким образом: х2 + 13х + 3 · 12 = 0; Теперь свободный член равен 36, по теореме Виета сумма двух корней должна быть равна (-13). Эти числа (-4) и (-9). Тогда разделив их на 12, получим, что корни исходного уравнения:

10. Способ использования свойств коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 +bx +c =0 .

а) Если а+ b+с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

Например. Решить уравнение 345 х2 – 137х -208 =0. Т. к. 345-137-208=0, то

б) Если a - b+c=0 или b=a+c , то

Например. Решим уравнение: 11 х2 +27х +16 = 0, так как, 11+16 =27, то

При решении показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональтных, биквадратных и др. уравнений используются квадратные уравнения. Многие текстовые задачи решаются составлением квадратных уравнений. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Способов решения их очень немало. Приведенные же способы решения квадратных уравнений специального вида позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при тестировании и сдаче экзаменов. Знание способов быстрого решения квадратных уравнений может пригодиться нам на притяжении всей жизни. Эти методы решения квадратных уравнений просты в применении и они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Литература:

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.
  2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся, – М.: Просвещение, 1988.
  3. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства.
  4. Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике. – Алматы, 2010. – 716 с.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, квадратное уравнение, способ решения, свободный член, решение, корень, Древняя Индия, исходное уравнение, полный квадрат, современный вид.


Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами. Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнениеуравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Найдем корни квадратного уравнения по формуле

Основные термины (генерируются автоматически): квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств».

Методы извлечения квадратного корня

Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод ( , ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного...

Методы решения нелинейных уравнений

Задачи работы: Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

- метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; - метод бесконечного (непрерывного) спуска; - метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид, система, линейное разностное уравнение, вспомогательный угол, характеристический многочлен, предельный цикл.

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности...

Как можно найти корни приведенного квадратного уравнения методом подбора? При изучении теоремы Пифагора учащимся можно предложить на основе данных рисунков прямоугольных треугольников с данными сторонами заполнить таблицу, в которую вносятся квадраты сторон...

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами. Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнениеуравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Найдем корни квадратного уравнения по формуле

Основные термины (генерируются автоматически): квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь

Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств».

Методы извлечения квадратного корня

Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод ( , ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного...

Методы решения нелинейных уравнений

Задачи работы: Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

- метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; - метод бесконечного (непрерывного) спуска; - метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид, система, линейное разностное уравнение, вспомогательный угол, характеристический многочлен, предельный цикл.

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности...

Как можно найти корни приведенного квадратного уравнения методом подбора? При изучении теоремы Пифагора учащимся можно предложить на основе данных рисунков прямоугольных треугольников с данными сторонами заполнить таблицу, в которую вносятся квадраты сторон...

Задать вопрос