Библиографическое описание:

Робочинская А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Периодические решения разностного уравнения третьего порядка // Молодой ученый. — 2016. — №28. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/132/36756/ (дата обращения: 22.05.2018).



Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Баранова Анастасия Яковлевна, студент;

Шенмаер Ирина Владимировна, студент;

Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент

Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет (г. Челябинск)

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы

Введение ипостановка задачи

Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка

,(1)

где детально проводилось в [1, 3, 5]. В работе [1] получены условия осциллируемости (колебательности) решений уравнения (1) в виде неравенств — ограничений на коэффициенты уравнения. В работе [5] полностью описана область асимптотической устойчивости уравнения (1) и поведение решений этого уравнения на границе области.

Сформулируем необходимые определения.

Определение 1. Решение уравнения (1) называется периодическим с периодом (k-циклом или k-периодическим), если для всех

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что k-периодическая, и для всех

Известно [4], что периодические решения возникают на границе области асимптотической устойчивости. Для периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1)

имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень .

Используя результаты работы [5], в этой статье мы описываем все возможные значения коэффициентов уравнения (1), при которых каждое решение является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Основные результаты

Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение , применив метод введения вспомогательного угла. Получим , где .

Введем величину Решение уравнения (1) является k-периодическим тогда и только тогда, когда . Получаем, что Это равенство выполняется для всеx тогда и только тогда, когда . Получаем следующее

Утверждение 1. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам , то решение имеет вид .

Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение, применив метод вспомогательного угла. Получим , где . Тогда Равенство возможно только при четном k и . Получаем следующее

Утверждение 2. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству , то решение имеет вид и является периодическим, с периодом 2.

Случай 3. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Очевидно, что в общем случае все решения уравнения (1) являются предельными 2-циклами (здесь где — 2-цикл, , ).

Случай 4. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Характеристический полином имеет следующие корни: действительный корень , , пару комплексно сопряженных корней , , , .

В этом случае получаем следующее

Утверждение 3. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , то все решения уравнения (1) являются предельными циклами тогда и только тогда, когда , где , .

Работа поддержана грантом ЮУрГГПУ и КГПУ им. В. П. Астафьева (проект № 16–1022).

Литература:

  1. Parhi N., Tripathy A. K. On the behavior of solutions of a class third order difference equations // Journal of Difference Equations and Applications. — 2002. — V. 8, No. 5. — P. 415–426.
  2. Schmeidel E. L., Janglajew K. R. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Advances in Difference Equations. — 2012. — 2012:195. URL:https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/1687–1847–2012–195. doi:10.1186/1687–1847–2012–195. (дата обращения: 10.12.2016)
  3. Баранова А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях // Молодой ученый. — 2016. — № 25(129). — С. 113–122.
  4. Козак А. Д., Новоселов О. Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, Вып. 2. — С. 211–215.
  5. Нигматулин Р. М., Кипнис М. М. Свойства дискретных систем третьего порядка на границе их областей устойчивости // Фундаментальные исследования. — 2015. — № 9–1. — С. 39–43; URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38962 (дата обращения: 10.12.2016).
Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, Общее решение уравнения, уравнения третьего порядка, разностного уравнения третьего, коэффициенты уравнения, решения уравнения, Коэффициенты уравнения, Решение уравнения, линейного разностного уравнения, решений уравнения, начальные условия, решения разностного уравнения, асимптотической устойчивости уравнения, величину Решение уравнения, характеристический многочлен уравнения, значения коэффициентов уравнения, уравнения второго порядка, устойчивость разностного уравнения, difference equations, решений линейного.


Ключевые слова

циклы, разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, предельные циклы

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос