Периодические решения разностного уравнения третьего порядка | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Робочинская А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Периодические решения разностного уравнения третьего порядка // Молодой ученый. — 2016. — №28. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/132/36756/ (дата обращения: 15.10.2018).



Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Баранова Анастасия Яковлевна, студент;

Шенмаер Ирина Владимировна, студент;

Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент

Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет (г. Челябинск)

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы

Введение ипостановка задачи

Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка

,(1)

где детально проводилось в [1, 3, 5]. В работе [1] получены условия осциллируемости (колебательности) решений уравнения (1) в виде неравенств — ограничений на коэффициенты уравнения. В работе [5] полностью описана область асимптотической устойчивости уравнения (1) и поведение решений этого уравнения на границе области.

Сформулируем необходимые определения.

Определение 1. Решение уравнения (1) называется периодическим с периодом (k-циклом или k-периодическим), если для всех

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что k-периодическая, и для всех

Известно [4], что периодические решения возникают на границе области асимптотической устойчивости. Для периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1)

имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень .

Используя результаты работы [5], в этой статье мы описываем все возможные значения коэффициентов уравнения (1), при которых каждое решение является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Основные результаты

Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение , применив метод введения вспомогательного угла. Получим , где .

Введем величину Решение уравнения (1) является k-периодическим тогда и только тогда, когда . Получаем, что Это равенство выполняется для всеx тогда и только тогда, когда . Получаем следующее

Утверждение 1. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам , то решение имеет вид .

Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение, применив метод вспомогательного угла. Получим , где . Тогда Равенство возможно только при четном k и . Получаем следующее

Утверждение 2. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству , то решение имеет вид и является периодическим, с периодом 2.

Случай 3. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Очевидно, что в общем случае все решения уравнения (1) являются предельными 2-циклами (здесь где — 2-цикл, , ).

Случай 4. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Характеристический полином имеет следующие корни: действительный корень , , пару комплексно сопряженных корней , , , .

В этом случае получаем следующее

Утверждение 3. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , то все решения уравнения (1) являются предельными циклами тогда и только тогда, когда , где , .

Работа поддержана грантом ЮУрГГПУ и КГПУ им. В. П. Астафьева (проект № 16–1022).

Литература:

  1. Parhi N., Tripathy A. K. On the behavior of solutions of a class third order difference equations // Journal of Difference Equations and Applications. — 2002. — V. 8, No. 5. — P. 415–426.
  2. Schmeidel E. L., Janglajew K. R. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Advances in Difference Equations. — 2012. — 2012:195. URL:https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/1687–1847–2012–195. doi:10.1186/1687–1847–2012–195. (дата обращения: 10.12.2016)
  3. Баранова А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях // Молодой ученый. — 2016. — № 25(129). — С. 113–122.
  4. Козак А. Д., Новоселов О. Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, Вып. 2. — С. 211–215.
  5. Нигматулин Р. М., Кипнис М. М. Свойства дискретных систем третьего порядка на границе их областей устойчивости // Фундаментальные исследования. — 2015. — № 9–1. — С. 39–43; URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38962 (дата обращения: 10.12.2016).
Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид, система, линейное разностное уравнение, вспомогательный угол, характеристический многочлен, предельный цикл.


Ключевые слова

циклы, разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, предельные циклы

Похожие статьи

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Общее решение уравнения (1) имеет вид. Зададим начальные условия . Тогда, решая систему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа. I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения. , после замены его на следующее разностное уравнение.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Рассмотрим далее краевую задачу.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Общее решение уравнения (1) имеет вид. Зададим начальные условия . Тогда, решая систему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа. I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения. , после замены его на следующее разностное уравнение.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Рассмотрим далее краевую задачу.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Общее решение уравнения (1) имеет вид. Зададим начальные условия . Тогда, решая систему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа. I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения. , после замены его на следующее разностное уравнение.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Рассмотрим далее краевую задачу.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Исследование устойчивости решений дискретных систем (разностных уравнений) является одной из важнейших задач.

Общее решение уравнения (1) имеет вид. Зададим начальные условия . Тогда, решая систему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра методом вариационных итераций.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа. I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения. , после замены его на следующее разностное уравнение.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Рассмотрим далее краевую задачу.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.

Задать вопрос