Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Сатторов А. Х., Мегралиев Я. Т. Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка // Молодой ученый. — 2010. — №6. — С. 9-15. — URL https://moluch.ru/archive/17/1735/ (дата обращения: 19.07.2018).

In given work the inverse edge task with integral conditions for hyperbolic equation of second order is researched. First of all the initial task is brought together to equivalent task, in which the theorem of existence and unique solution is proved. Further, having used these facts, existence and unity of classical solution of initial task is proved too.

 

            Рассмотрим уравнение

                                 (1)

в области  и поставим для него обратную краевую задачу с начальными условиями

,                                  (2)

нелокальными условиями

                                 (3)

и дополнительным условием

,                                          (4)

где  - заданные функции, а ,  - искомые функции.

            Смешанные задачи для гиперболических уравнений с нелокальными интегральными условиями были ранее рассмотрены в работах [1, 2].

            Определение. Классическим решением задачи (1)-(4) назовём пару  функций   и  , обладающих следующими свойствами:

1)      функция   непрерывна в   вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2)      функция  непрерывна на  ;

3)      все условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Аналогично [3] можно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть

Тогда  задача нахождения классического решения задачи (1)-(4) эквивалентна задаче определения функций   и  из (1),(2) и

                                 (5)

.                     (6)

            С целью исследования задачи (1), (2), (5), (6) рассмотрим следующие пространства. Обозначим через   [4] совокупность всех функций вида

                                  ,

рассматриваемых в , где каждая из функций   непрерывна на   и

                                ,

причем . Норму в этом множестве определим так:

.

Через   обозначим пространство  вектор-функций  с нормой

.

Известно, что  и    являются банаховыми пространствами.

Первую компоненту  классического решения  задачи (1),(2),(5),(6) будем искать в виде:

,                                     (7)

где

        .

            Тогда, применяя формальную схему Фурье, из (1) и (2) имеем:

,                (8)                          

                                 (9)

где

,

.

            Из (8),(9) находим:

,                               (10)

. (11)

            Очевидно, что

 ,  (12)

                (13)

После подстановки выражений  в (7), для определения компоненты  классического решения задачи  (1),(2),(5),(6) получаем:

                                          (14)

            Теперь, из (6), с учетом (7), имеем:

                              (15)

            Для того, чтобы получить уравнение для второй компоненты  классического решения  задачи (1),(2),(5),(6) подставим выражение (11) в (15):

                     (16)

            Таким образом, решение задачи (1),(2),(5),(6) свелось к решению системы (14), (16) относительно неизвестных функций  и .

            Исходя из определения классического решения задачи (1), (2), (5), (6) доказывается следующая

            Лемма 2. Если  - любое классическое решение задачи (1), (2), (5), (6), то функции

удовлетворяют системе (10),(11).

            Теперь , из (11)-(13) имеем:

            Отсюда имеем:

                               (17)

,              (18)

.  (19)

            Предположим, что данные задачи (1),(2),(5),(6)  удовлетворяют следующим условиям:

1.  и

2.  и

3.  и

            Тогда из (17)-(19), (10) соответственно  получаем:

,       (20)

,                              (21)

,  (22)

.                     (23)

            Далее, из (20) и (23) находим:

  ,             (24)

где

.

            Теперь из (15), с учётом (20), имеем:

,                    (25)

где

.

            Из неравенств (24) и (25) заключаем:

            ,      (26)

где

.

            Итак, можно доказать следующую теорему.

            Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-3 и

.                                            (27)

            Тогда задача (1),(2),(5),(6) имеет в шаре   из   единственное решение.

            Доказательство. В пространстве   рассмотрим уравнение

,                                                          (28)

где  , компоненты   оператора   определены правыми частями уравнений (14), (16) соответственно. Рассмотрим оператор   в шаре   из  .

            Аналогично (26) получаем, что для любых   справедливы оценки:

,                   (29)

.    (30)

            Тогда из оценок (29) и (30), с учетом (27), следует, что оператор Ф действует в шаре  и является сжимающим. Поэтому в шаре  оператор Ф  имеет единственную неподвижную точку  , которая является решением уравнения (28).

            Функция  , как элемент пространства  , непрерывна и имеет непрерывные производные ,   в  .

            Из неравенств (21), (22) следует, что  ,    непрерывны в .

            Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (5), (6) удовлетворяются в обычном смысле. Значит,   является классическим решением задачи  (1),(2),(5),(6), а в силу леммы 2 это решение единственно. Теорема доказана.

            С помощью леммы 1 легко доказывается следующая

            Теорема 2.  Пусть выполняются все условия теоремы 1 и

.

            Тогда задача (1)-(4) имеет в шаре    из     единственное решение.

 

Литература:

1.      Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. // Мат. Моделирование, 2000, т.12, №1, с. 94-103.

2.      Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. Уравнения, 2004, т.40, №7, с. 887-892.

3.      Намазов Г.К., Мегралиев Я.Т. Исследование классического решения одномерной обратной краевой задачи для полулинейных псевдогиперболических уравнений высокого порядка//Вестник Бакинского Университета, серия физико-математических наук, 2003, №2, с.5-15.

4.      Худавердиев К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений  // Докт. Дис. Физ.-матем. Наук, Азерб. Гос. Унив., Баку, 1973, 319 с.

 

 

Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл, единственное решение.


Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

краевая задача, оператор, неравенство, непрерывный оператор, решение задачи, равенство, функция множества, любой, измеримая функция, вспомогательное утверждение.

Декомпозиционный метод решения транспортной задачи...

3. Метод решения задачи. Задачу (1)−(4) можно рассматривать как задачу на условный экстремум и использовать метод множителей Лагранжа.

Легко видеть, что единственная стационарная точка функции Лагранжа в этой задаче является её глобальным минимумом.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Постановка задачи [2]. Построить явную разностную схему для решения задачи, в которой имеется струна длиной

, - заданные числа. Требуется найти функцию , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) в области и соответствующим условиям на ее границе.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

, , , , , В области для уравнения исследуем следующую задачу: Задачи G. Требуется найти функцию , обладающую следующими свойствами

Если выполнены условия , , , , то в области решение задачи G существует и единственно.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad.

Функции задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучающие функции задач можно подразделить на функции общего характера, специального и конкретного характера.

4) Умение планировать поиск решения задачи, исключить из условия ненужные данные, дополнять недостающие, отбирать методы, средства и операции...

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.

Решение методом продолжения задач математической физики...

Пусть задано следующее уравнение 2-го порядка с двумя переменными в области : (1). Здесь — коэффициенты уравнения, определенные в области достаточно гладкие функции, одновременно в не равные нулю, а заданная функция своих аргументов.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

На основании этих результатов в статье К.Б.Сабитова, Р.Г.Идрисова [8] установлен принцип максимума модуля решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа (0.3), где – числовые функции

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Разрешимость одной краевой задачи для...

краевая задача, оператор, неравенство, непрерывный оператор, решение задачи, равенство, функция множества, любой, измеримая функция, вспомогательное утверждение.

Декомпозиционный метод решения транспортной задачи...

3. Метод решения задачи. Задачу (1)−(4) можно рассматривать как задачу на условный экстремум и использовать метод множителей Лагранжа.

Легко видеть, что единственная стационарная точка функции Лагранжа в этой задаче является её глобальным минимумом.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Постановка задачи [2]. Построить явную разностную схему для решения задачи, в которой имеется струна длиной

, - заданные числа. Требуется найти функцию , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) в области и соответствующим условиям на ее границе.

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

, , , , , В области для уравнения исследуем следующую задачу: Задачи G. Требуется найти функцию , обладающую следующими свойствами

Если выполнены условия , , , , то в области решение задачи G существует и единственно.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad.

Функции задач в обучении математике | Статья в журнале...

Обучающие функции задач можно подразделить на функции общего характера, специального и конкретного характера.

4) Умение планировать поиск решения задачи, исключить из условия ненужные данные, дополнять недостающие, отбирать методы, средства и операции...

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.

Решение методом продолжения задач математической физики...

Пусть задано следующее уравнение 2-го порядка с двумя переменными в области : (1). Здесь — коэффициенты уравнения, определенные в области достаточно гладкие функции, одновременно в не равные нулю, а заданная функция своих аргументов.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

На основании этих результатов в статье К.Б.Сабитова, Р.Г.Идрисова [8] установлен принцип максимума модуля решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа (0.3), где – числовые функции

Задать вопрос