Библиографическое описание:

Турдиев Х. Х. Об оценках осцилляторных интегральных операторов // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 27-28.



Осцилляторным интегральным оператором называется оператор следующего вида:

(1)

где и вещественно значная функция и — большой вещественный параметр.

В работе Л. Хёрмандера [4] доказано, что если смешенный Гессиан фазовой функции ф, т. е. , то для оператора (1) справедлива следующая оценка:

(2)

Однако, если смешенный Гессиан обращается в нуль в начале координат, то оценка (2) перестает быть справедливой.

В 1997 году в работе [5] И. М. Стейн и Д. Х. Фонг рассмотрели оценку норму оператора (1) с вырожденной фазой в случае . В этом случае по фазовой функции определяется так называемый приведённый многогранник Ньютона (МН), т. е. МН функции: , предполагая .

Через d обозначается расстояние Ньютона, т. е координата пересечения биссектрисы положительного октанта с границей . Тогда если ф (х, у) аналитична в нуле и носитель амплитуды, а находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедлива оценка:

.

Более того, если , то существует ненулевая константа такая, что .

В дальнейшем, ради удобства введем обозначение: если существуют ненулевые константы такие, что при для нормы оператора справедливы неравенства , то мы будем писать, что:

(3)

Таким образом, если и носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедливо соотношение (3).

Основным результатом нашей работы является следующая теорема:

Теорема. Если и — носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности начала координат, то для L2 нормы осцилляторных интегральных операторов справедлива следующая оценка:

.

Более, того если , то при справедливо соотношение:

.

При доказательстве основной теоремы используются некоторые вспомогательные утверждения.

метод и Обобщенная лемма Шура.

Как известно, если Т некоторый ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, то справедливо равенство .

Доказательство основной теоремы основывается на этом методе.

Лемма 1. является интегральным оператором с ядром:

Лемма 1 доказывается непосредственным вычислением ядро оператора.

Лемма 2. Пусть М любое фиксированное число и тогда справедливо неравенство:

где Лебегова мера множества А.

Литература:

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н. Гусейн-заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. II. M.: Наука, 1984. 335 с.
  2. Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов. Функц. анал. и его прил. 10(3): (1976). с. 13–38.
  3. Рисс Ф. Б., Сёкефальви-Надь «Лекции по функциональному анализу». «МИР» Москва, 1979. 528 с.
  4. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Ч. 4. ИнтегральныеоператорыФурье. М.: Мир, 1988. 446 с.
  5. Phong D. H., Stein E. M. The Newton polyhedron and oscillatory integral operators. Acta Math. 179(1) (1997), С. 105–152.
Основные термины (генерируются автоматически): носитель амплитуды, малой окрестности, малой окрестности нуля, основной теоремы, оценку норму оператора, малой окрестности начала, приведённый многогранник Ньютона, нормы оператора справедливы, доказательстве основной теоремы, операторов справедлива следующая, Доказательство основной теоремы, Обобщенная лемма Шура, пересечения биссектрисы положительного, вычислением ядро оператора, L2 нормы осцилляторных, and oscillatory integral, линейных дифференциальных операторов, следующая теорема, Многогранники Ньютона, расстояние Ньютона.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос