Об оценках осцилляторных интегральных операторов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 08.04.2016

Статья просмотрена: 24 раза

Библиографическое описание:

Турдиев Х. Х. Об оценках осцилляторных интегральных операторов // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 27-28. — URL https://moluch.ru/archive/112/28108/ (дата обращения: 16.07.2018).



Осцилляторным интегральным оператором называется оператор следующего вида:

(1)

где и вещественно значная функция и — большой вещественный параметр.

В работе Л. Хёрмандера [4] доказано, что если смешенный Гессиан фазовой функции ф, т. е. , то для оператора (1) справедлива следующая оценка:

(2)

Однако, если смешенный Гессиан обращается в нуль в начале координат, то оценка (2) перестает быть справедливой.

В 1997 году в работе [5] И. М. Стейн и Д. Х. Фонг рассмотрели оценку норму оператора (1) с вырожденной фазой в случае . В этом случае по фазовой функции определяется так называемый приведённый многогранник Ньютона (МН), т. е. МН функции: , предполагая .

Через d обозначается расстояние Ньютона, т. е координата пересечения биссектрисы положительного октанта с границей . Тогда если ф (х, у) аналитична в нуле и носитель амплитуды, а находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедлива оценка:

.

Более того, если , то существует ненулевая константа такая, что .

В дальнейшем, ради удобства введем обозначение: если существуют ненулевые константы такие, что при для нормы оператора справедливы неравенства , то мы будем писать, что:

(3)

Таким образом, если и носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедливо соотношение (3).

Основным результатом нашей работы является следующая теорема:

Теорема. Если и — носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности начала координат, то для L2 нормы осцилляторных интегральных операторов справедлива следующая оценка:

.

Более, того если , то при справедливо соотношение:

.

При доказательстве основной теоремы используются некоторые вспомогательные утверждения.

метод и Обобщенная лемма Шура.

Как известно, если Т некоторый ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, то справедливо равенство .

Доказательство основной теоремы основывается на этом методе.

Лемма 1. является интегральным оператором с ядром:

Лемма 1 доказывается непосредственным вычислением ядро оператора.

Лемма 2. Пусть М любое фиксированное число и тогда справедливо неравенство:

где Лебегова мера множества А.

Литература:

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н. Гусейн-заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. II. M.: Наука, 1984. 335 с.
  2. Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов. Функц. анал. и его прил. 10(3): (1976). с. 13–38.
  3. Рисс Ф. Б., Сёкефальви-Надь «Лекции по функциональному анализу». «МИР» Москва, 1979. 528 с.
  4. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Ч. 4. ИнтегральныеоператорыФурье. М.: Мир, 1988. 446 с.
  5. Phong D. H., Stein E. M. The Newton polyhedron and oscillatory integral operators. Acta Math. 179(1) (1997), С. 105–152.
Основные термины (генерируются автоматически): носитель амплитуды, интегральный оператор, малая окрестность нуля, норма оператора, основная теорема, оценка, смешенный Гессиан, фазовая функция.


Похожие статьи

Интегральные операторы с ядрами типа Бергмана...

Основные термины (генерируются автоматически): доказательство теоремы, функция, положительное число, ядро типа, класс, внутренний интеграл, единичный круг, интегральный оператор, замена переменных, оценка.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— пространство ограниченных в существенном на вектор-функций с нормой

— шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции ; — оператор, сопряженный к .

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Если -нуль функции , то. Пример краевой задачи.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции Верна следующая.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы.

Преобразование Фурье и преобразование Хартли

Преобразование Хартли — это линейный оператор

Существует также аналог теоремы свёртки для преобразования Хартли.

Свойства cas функции вытекают непосредственно из тригонометрии, и его определение как фазовый сдвиг тригонометрических функции.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального...

, то справедливы следующие теоремы. Теорема 3. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Основные термины (генерируются автоматически): интегральный оператор, теорема, оператор, существенный спектр оператора, интегральный оператор...

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

, где –вещественнозначные непрерывные функции на . Тогда оператор имеет следующий вид.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Об оценках осцилляторных интегральных операторов.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция

Для получения оценки нормы разности будет использована. (24). Лемма 1. Если матрица допускает разложения.

Т. Теория возмущений линейных операторов. М. Мир 1972.740 с. 2. Алишев.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Интегральные операторы с ядрами типа Бергмана...

Основные термины (генерируются автоматически): доказательство теоремы, функция, положительное число, ядро типа, класс, внутренний интеграл, единичный круг, интегральный оператор, замена переменных, оценка.

Разрешимость одной краевой задачи для...

— пространство ограниченных в существенном на вектор-функций с нормой

— шар в радиуса с центром в нуле; — носитель суммируемой функции ; — оператор, сопряженный к .

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Если -нуль функции , то. Пример краевой задачи.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции Верна следующая.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы.

Преобразование Фурье и преобразование Хартли

Преобразование Хартли — это линейный оператор

Существует также аналог теоремы свёртки для преобразования Хартли.

Свойства cas функции вытекают непосредственно из тригонометрии, и его определение как фазовый сдвиг тригонометрических функции.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального...

, то справедливы следующие теоремы. Теорема 3. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Основные термины (генерируются автоматически): интегральный оператор, теорема, оператор, существенный спектр оператора, интегральный оператор...

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

, где –вещественнозначные непрерывные функции на . Тогда оператор имеет следующий вид.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Об оценках осцилляторных интегральных операторов.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция

Для получения оценки нормы разности будет использована. (24). Лемма 1. Если матрица допускает разложения.

Т. Теория возмущений линейных операторов. М. Мир 1972.740 с. 2. Алишев.

Задать вопрос