Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Шукуров Х. Г., Норова И. Х. Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального оператора // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 27-29. — URL https://moluch.ru/archive/140/39325/ (дата обращения: 15.10.2018).



Частично интегральные операторы встречаются в квантовой теории поля, физике твердого тела, а также в механике сплошных сред, аэродинамике и других областях физики и механики.

Пусть – мера Лебега в и – гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на . В настоящей работе рассмотрим частично интегральный оператор , заданный следующим образом:

.

Оператор является линейным ограниченным и самосопряженным оператором в .

Обозначим через соответственно спектр, существенный спектр, дискретный спектр соответственно.

Следует отметить, что в работе [1,2] в качестве операторов возмущения рассматриваются частично интегральные операторы типа . Там предполагаются, что частично интегральные операторы являются положительными и принадлежат пространству операторов со следом. Этот факт используется при построение соответствующего уравнения типа Фаддеева для собственных функций.

Вместе с оператором рассмотрим семейство компактных операторов действующих в гильбертовом пространстве по следующим правилам:

.

Отметим, что спектр и числовая образ одного интегрального оператора типа изучены в работе [3].

Теорема 1. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Доказательство. Для каждой точки оператор является компактным оператором в . Пусть фиксирована. Ввиду компактности оператора существует последовательность ортонормированных функций из таких, что . Для каждого определим множество

.

Рассмотрим последовательность ортонормированных функций

,

где – характеристическая функция множества . Пусть – частично интегральный оператор в с ядром , т. е.

.

Тогда

.

С другой стороны,

.

В силу непрерывности функции на при достаточно малом существует достаточно большое число такое, что

для всех .

Тогда для всех , т. е. . Следовательно, из неравенства вытекает, что , и поэтому . Теорема 1 доказана.

Из замкнутости существенного спектра самосопряженного оператора вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Дискретный спектр оператора отсутствует, т. е.

.

Аналогично, если рассмотрим частично интегральный оператор , заданный следующим образом:

,

то справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Теорема 4. Дискретный спектр оператора отсутствует, т. е.

.

Литература:

  1. M. I. Muminov, T. H. Rasulov. The Faddeev Equation and Essential Spectrum of a Hamiltonian in Fock Space. Methods of Functional Analysis and Topology. 17:1 (2011), 47–57.
  2. Т. Х. Расулов, А. А. Рахмонов. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора. Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физико-математические науки, 23:2 (2011), 170–180.
  3. Н. Х. Шарипова, Х. Ж. Акрамова, З. Ф. Исомова. Спектр и числовая образ одного интегрального оператора. Молодой учёный. 2017, № 4 (138), С. 120–122.
Основные термины (генерируются автоматически): интегральный оператор, теорема, оператор, существенный спектр оператора, интегральный оператор типа, дискретный спектр оператора, существенный спектр, самосопряженный оператор, гильбертово пространство.


Похожие статьи

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Оператор также является линейным ограниченным самосопряженным оператором [1], действующим в гильбертовом пространстве .

Множество называется существенным спектром оператора . Следующая лемма описывает спектра оператора .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем. . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Описано местоположение существенного спектра оператора , т. е. выделены двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра оператора .

При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

. Покажем, что оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. По определению оператора имеем, что имеет вид

Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, гильбертово пространство, теорема.

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Пусть оператор , действует в как. . Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. V. A. Malishev, R. A. Minlos.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Оператор также является линейным ограниченным самосопряженным оператором [1], действующим в гильбертовом пространстве .

Множество называется существенным спектром оператора . Следующая лемма описывает спектра оператора .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем. . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

Описано местоположение существенного спектра оператора , т. е. выделены двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра оператора .

При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

. Покажем, что оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. По определению оператора имеем, что имеет вид

Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, гильбертово пространство, теорема.

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение...

Пусть оператор , действует в как. . Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. V. A. Malishev, R. A. Minlos.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Задать вопрос