Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Шукуров Х. Г., Норова И. Х. Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального оператора // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 27-29. — URL https://moluch.ru/archive/140/39325/ (дата обращения: 22.05.2018).



Частично интегральные операторы встречаются в квантовой теории поля, физике твердого тела, а также в механике сплошных сред, аэродинамике и других областях физики и механики.

Пусть – мера Лебега в и – гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на . В настоящей работе рассмотрим частично интегральный оператор , заданный следующим образом:

.

Оператор является линейным ограниченным и самосопряженным оператором в .

Обозначим через соответственно спектр, существенный спектр, дискретный спектр соответственно.

Следует отметить, что в работе [1,2] в качестве операторов возмущения рассматриваются частично интегральные операторы типа . Там предполагаются, что частично интегральные операторы являются положительными и принадлежат пространству операторов со следом. Этот факт используется при построение соответствующего уравнения типа Фаддеева для собственных функций.

Вместе с оператором рассмотрим семейство компактных операторов действующих в гильбертовом пространстве по следующим правилам:

.

Отметим, что спектр и числовая образ одного интегрального оператора типа изучены в работе [3].

Теорема 1. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Доказательство. Для каждой точки оператор является компактным оператором в . Пусть фиксирована. Ввиду компактности оператора существует последовательность ортонормированных функций из таких, что . Для каждого определим множество

.

Рассмотрим последовательность ортонормированных функций

,

где – характеристическая функция множества . Пусть – частично интегральный оператор в с ядром , т. е.

.

Тогда

.

С другой стороны,

.

В силу непрерывности функции на при достаточно малом существует достаточно большое число такое, что

для всех .

Тогда для всех , т. е. . Следовательно, из неравенства вытекает, что , и поэтому . Теорема 1 доказана.

Из замкнутости существенного спектра самосопряженного оператора вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Дискретный спектр оператора отсутствует, т. е.

.

Аналогично, если рассмотрим частично интегральный оператор , заданный следующим образом:

,

то справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора .

Теорема 4. Дискретный спектр оператора отсутствует, т. е.

.

Литература:

  1. M. I. Muminov, T. H. Rasulov. The Faddeev Equation and Essential Spectrum of a Hamiltonian in Fock Space. Methods of Functional Analysis and Topology. 17:1 (2011), 47–57.
  2. Т. Х. Расулов, А. А. Рахмонов. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора. Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физико-математические науки, 23:2 (2011), 170–180.
  3. Н. Х. Шарипова, Х. Ж. Акрамова, З. Ф. Исомова. Спектр и числовая образ одного интегрального оператора. Молодой учёный. 2017, № 4 (138), С. 120–122.
Основные термины (генерируются автоматически): интегрального оператора, интегральные операторы, интегральный оператор, последовательность ортонормированных функций, интегрального оператора типа, Дискретный спектр оператора, существенному спектру оператора, следующим образом, трехчастичного модельного оператора, интегральные операторы типа, существенного спектра, компактности оператора, числовая образ, квадратично интегрируемых функций, Отсутствие дискретного спектра, замкнутости существенного спектра, местоположение существенного спектра, качестве операторов возмущения, семейство компактных операторов, уравнения типа Фаддеева.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос