Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Чернов М. В., Киряков Г. А., Габзалилов Э. Ф., Фуртиков К. А., Реутов А. Я., Королев О. А. Пространственные векторы в асинхронном двигателе в относительной системе единиц // Молодой ученый. — 2015. — №11. — С. 133-156.

Целью данной работы является вывод математического аппарата, описывающего процессы в асинхронном двигателе, в доступной для понимания студентами форме. Открытия сделанные учеными в 1940-50 г.г. при исследовании асинхронных двигателей оказывают потрясающие воздействия. В данной работе сделана попытка реконструкции хода исследовательской мысли ученых и передачи студентам специфической красотыв движениях математических формул. Пройти школу на материалах такого наследия является важнейшим условием формирования будущих исследователей.

Вначале, на примере мгновенных трехфазных напряжений в косинусоидальной форме сдвинутых во времени на 120° с помощью формулы Эйлера (1707…1783 г.г.) преобразовываются в виде степенных функций. Переход к степенным функциям позволяет производить замену произведений множества тригонометрических формул в простые алгебраические суммы выражений находящихся в степени. Далее, используя известную формулу суммы от произведения мгновенных значений напряжений по фазам на соответствующие единичные векторы переходим к пространственному вектору напряжения статора вращающемуся с циклической частотой питающего напряжения (в данной работе рассматривается двухполюсный двигатель). Аналогично производится переход к пространственным токам статорных и роторных величин, причем фазовые сдвиги токов естественно отразятся в пространственном расположении векторов. В потокосцеплениях фаз статора и ротора показаны взаимосвязи от угла поворота магнитных осей. Перед взглядом студентов предстает множество уравнений с переменными коэффициентами. При переходе к пространственным векторам происходит существенное сокращение числа уравнений. Производные от угла поворота магнитных осей дают скорость вращения ротора.

1. Преобразование мгновенных значений напряжений в степенные функции

Мгновенные значения трехфазных напряжений описываются следующими зависимостями:

где - циклическая частота напряжения, рад/c.

На рис. 1 показана связь мгновенных значений напряжений  с векторами  во временной системе координат, как их проекции на действительную ось  Работа в векторной форме существенно ускоряет процесс исследования, причем в любой момент времени легко перейти к косинусоидальной форме мгновенных значений. Выполнить, например, произведение множества косинусоид  (синусоид) представляет довольно трудоемкую задачу, а в векторной форме произвести перемножение значительно легче.

Рис. 1. Связь мгновенных значений напряжений с векторами, соответствующими во временной системе координат

 

Не меньшую роль в ускорении процессов математических преобразований играет представление с помощью формулы Эйлера мгновенных значений в степенные функции.

Выразим систему уравнений  через степенные функции:

Итак, система уравнений в степенной форме имеет следующий вид:

2. Переход от мгновенных значений напряжений к пространственному вектору

Пространственный вектор напряжения  определяется по следующей зависимости:

где  - единичные пространственные векторы.

Подставив в уравнение  мгновенные значения напряжений в степенной форме  и единичные пространственные векторы  получим:

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис. 2 (в электронном варианте все векторы и их проекции даны в цветном варианте).

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось  далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производиться геометрическая сумма  и наконец, умножив полученный вектор на множитель  получим искомый вектор


 

Рис. 2. Геометрический смысл построения пространственного вектора  по составляющим  и


3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 3.

Rs, ls, lms – параметры статорной обмотки,

Rr, lr, lmr – параметры роторной обмотки,

|lmsr|=|lmrs|=|lm| – коэффициенты взаимоиндуктивности при совпадении магнитных осей статора и ротора

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

                  

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов

Умножив обе части уравнения  на единичный пространственный вектор  уравнения  и  – соответственно на  и  Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:                

5. Вектор потокосцепления статора АД

Пространственный вектор потокосцепления статора:

где  - мгновенные значения потокосцеплений статора;                                

, ,  - единичные пространственные векторы.

Уравнения  ÷  представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор  второе – на  и последнее уравнение  – на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой .

Переведем мгновенные значения токов статора и ротора с фазными переменными в степенные функции:

Аналогично, представим   и  в степенной форме:

Или иначе, в удобной для запоминания форме:

Для первого столбца уравнения (20) определим пространственный вектор :

Потокосцепление  можно выразить в следующей форме:

Для второго столбца:

Наконец, для третьего столбца:

,

где

где

Обозначим ;   ;   ;   .

Окончательно, вектор потокосцепления статора [1]:                                             

                                   

6. Вектор потокосцепления ротора АД

Уравнения (14) ÷ (16) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе – на , третье – на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (22).

Пространственный вектор для первого столбца :

Пространственный вектор для второго столбца системы уравнений (23):

Пространственный вектор для третьего столбца (23):

,

 

Обозначим ;   ;   ;   .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

(24)

 

7. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

 

 

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (25) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к другим системам координат. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис. 4.

 

 – неподвижная система координат статора ;

 – система координат, связанная с ротором;

 - угол сдвига системы координат R по отношению к S, причем ;

 – произвольная система координат,  - угол сдвига к неподвижной системе();

 – пространственный вектор напряжения статора.

 и  – этот же пространственный  вектор  напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (25) – (28) примет следующий вид:

(29)

где , ,  – записаны в не подвижной системе координат статора .

(30)

где , ,  – пространственные векторы роторных величин в роторной системе координат R.

(31)

где ,  – векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  – в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

(32)

где ,  – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  – в неподвижной системе координат .

7.1 Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

.

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

 и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

.

Окончательно .

В выражении  представим: , тогда

;

.

В уравнении (27) умножим обе части на :

,

.

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

Опуская индекс «статорная система координат», получим:

(33)

7.2 Приведение уравнений к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

;

;

.

Уравнение (25) перепишем без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат:

.

Уравнение (26) умножим обе части на :

;

.

В уравнении (27) выразим , тогда

;

.

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27) имеют следующий вид:

Опуская индекс «роторная система координат», получим:

    

(34)

7.3. Приведение уравнений к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

;

;

.

Уравнение (25) умножим на :

;

;

.

Уравнение (26) умножим на , тогда

, т.к. , то

.

Уравнение(27) умножим на , тогда

;

.

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

Опуская индекс «произвольная система координат», получим:

(35)

В работах [2, с. 196], [3, с. 457] Т-образная схема замещения для одной фазы имеет следующий вид:

Рис. 5. Т-образная схема замещения фазы АД

 

 и  - активные сопротивления обмоток статора и ротора;

 и  - индуктивные сопротивления рассеяния обмоток статора и ротора;

 - индуктивное сопротивление намагничивающего контура [3, с. 457].

 - относительная разность скоростей вращения поля () и ротора ().

Связь между скоростью вращения в об/мин с циклической частотой в рад/с следующая:

 - циклическая частота вращения поля, рад/c;

 - циклическая частота вращения ротора, рад/c.

Скольжение s выражено через циклические частоты:

, тогда .

Для анализа режимов частотного управления асинхронными двигателями целесообразно представить индуктивные сопротивления через индуктивности.

Сделаем привязку параметров, принятых в данной статье, с параметрами в схеме замещения на рис. 5 (обозначения приняты для системы в абсолютных единицах):

  

Рис. 6. Т-образная схема замещения для частотного управления в а.е.

 

 - активное сопротивление статорной обмотки, Ом;

 - активное сопротивление роторной обмотки, приведенного к статорной обмотке, Ом;

 - индуктивность рассеяния статорной обмотки, Гн;

 - индуктивность рассеяния роторной обмотки, Гн;

 - индуктивность от главного потока, Гн;

 - циклическая частота напряжения сети, рад/с.

В обозначениях, приведенных в уравнении (21) и (24):

;

, отсюда

В работе [3, с. 457] аналогичные выражения связей параметров в привязке к параметрам схемы замещения на рис. 5 даны в следующем виде:

 - сопротивление взаимной индуктивности;

;

;

;

,

где  - частота напряжения сети;

 - индуктивность собственной статорной обмотки;

 - индуктивность собственной роторной обмотки;

 - взаимоиндуктивность фаз статорных обмоток;

 - взаимоиндуктивность фаз роторных обмоток;

, , , ,  - относительные значения параметров приводятся в справочниках, например [4].

;   ;   ;   ;   .

Для перехода к системе относительных единиц введем базовые величины [5, с. 117]:

 - амплитуда номинального фазного напряжения;

 - амплитуда номинального фазного тока;

 - номинальная угловая частота напряжения статора;

 - угловая скорость ротора в режиме идеального холостого хода при номинальной частоте напряжения статора;

 = 1 эл. рад. – единица измерения углов;

 - время;

 - потокосцепление;

 - индуктивность;

 - сопротивление;

 - мощность, равная номинальной электромагнитной мощности двигателя;

 - момент, равный номинальному электромагнитному моменту двигателя;

 - коэффициент, равный отношению полной мощности на зажимах обмотки статора к электромагнитной мощности в номинальном режиме.

Относительные значения амплитуд напряжения на зажимах обмотки статора и электродвижущих сил (полной ЭДС обмотки статора; ЭДС, наводимой в обмотках машин главным магнитным потоком; полной ЭДС обмотки ротора):

;   ;   ;   .

Относительные значения амплитуд тока статора, тока намагничивания и тока ротора:

;   ;   .

Относительные значения амплитуд потокосцепления статора, главного потокосцепления и потокосцепления ротора:

;   ;   .

Относительный электромагнитный момент двигателя и момент статического сопротивления механизма:

;   .

Относительные угловая частота напряжения статора и скорость вращения ротора с учетом числа пар полюсов :

;      .

По значениям относительной частоты напряжения статора и скорости вращения ротора может быть следующим образом определено абсолютное скольжение ротора двигателя:

.

Относительные значения активных сопротивлений в Т-образной схеме замещения (рис. 7) определяются выражениями:

 - относительное активное сопротивление обмотки статора;

 - относительное активное сопротивление обмотки ротора, приведенное к цепи статора.

Индуктивные сопротивления в данных каталога даются при номинальной частоте [5]. Для анализа режимов частотного управления более удобно перейти от индуктивных сопротивлений к индуктивностям, которые в общем случае определяются формулой:

,

где f – частота, при которой определено значение индуктивного сопротивления.

Индуктивности и индуктивные сопротивления реактивных элементов схемы замещения связаны соотношениями:

;   ;   .

В системе относительных единиц они представляются следующим образом:

 - относительная индуктивность от главного магнитного потока;

 - относительная индуктивность рассеяния обмотки статора;

 - относительная индуктивность рассеяния обмотки ротора, приведенная к цепи статора.

Схема замещения асинхронного двигателя при переменной частоте [5, с. 120]:

Рис. 7. Схема замещения асинхронного двигателя при переменной частоте

 

Примечание: при переходе от Т-образной схемы (рис. 6) в абсолютных единицах к схеме замещения на рис. 7 сделаны следующие преобразования:

1.        

,

где  - циклическая (угловая) частота вращения поля.

2.         ,

где .

3.         .

4.         .

Для неподвижной системы координат были получены следующие уравнения:

(36)

(37)

(38)

(39)

Переведем эти уравнения в систему относительных единиц. Обе части уравнения (36) разделим на :

,

где

Аналогичные уравнения произведем для второго уравнения:

В уравнении (38) обе части умножим на :

,

где                           

Аналогично в уравнении (39) умножим обе части на :

Окончательно, система уравнений в относительных единицах примет вид:

(40)

(41)

(42)

(43)

 

Литература:

 

1.             Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока / Пер. с нем. - М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 735 с.: ил.

2.             Копылов И.П. Проектирование электрических машин: Учеб. пособие для вузов / И.П. Копылов, Ф.А. Горяинов, Б.К. Клоков и др. – М.: Энергия, 1980. – 496 с.

3.             Чиликин М.Г. Основы автоматизированного электропривода: Учеб. пособие для взуов / М.Г. Чиликин, М.М. Соколов, В.М. Терехов, А.В. Шинянский. – М.: Энергия, 1974. – 568 с.

4.              Кравчик А.И. Асинхронные двигатели серии 4А. Справочник: Энергоиздат, 1982. – 502 с.

5.             Шрейнер Р.Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р.Т. Шрейнер, А.В. Костылев, В.К. Кривовяз, С.И. Шилин; под. Ред. проф. д.т.н. Р.Т. Шрейнера. – Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. – 361 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle