Пространственные векторы в асинхронном двигателе | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Фуртиков К. А., Реутов А. Я. Пространственные векторы в асинхронном двигателе // Молодой ученый. — 2015. — №8. — С. 28-45. — URL https://moluch.ru/archive/88/17584/ (дата обращения: 21.09.2018).

Целью данной работы является вывод математического аппарата, описывающего процессы в асинхронном двигателе, в доступной для понимания студентами форме. Открытия сделанные учеными в 1940–50 г.г. при исследовании асинхронных двигателей оказывают потрясающие воздействия. В данной работе сделана попытка реконструкции хода исследовательской мысли ученых и передачи студентам специфической красоты в движениях математических формул. Пройти школу на материалах такого наследия является важнейшим условием формирования будущих исследователей.

Вначале, на примере мгновенных трехфазных напряжений в косинусоидальной форме сдвинутых во времени на 120° с помощью формулы Эйлера (1707…1783 г.г.) преобразовываются в виде степенных функций. Переход к степенным функциям позволяет производить замену произведений множества тригонометрических формул в простые алгебраические суммы выражений находящихся в степени. Далее, используя известную формулу суммы от произведения мгновенных значений напряжений по фазам на соответствующие единичные векторы переходим к пространственному вектору напряжения статора вращающемуся с циклической частотой питающего напряжения (в данной работе рассматривается двухполюсный двигатель). Аналогично производится переход к пространственным токам статорных и роторных величин, причем фазовые сдвиги токов естественно отразятся в пространственном расположении векторов. В потокосцеплениях фаз статора и ротора показаны взаимосвязи от угла поворота магнитных осей. Перед взглядом студентов предстает множество уравнений с переменными коэффициентами. При переходе к пространственным векторам происходит существенное сокращение числа уравнений. Производные от угла поворота магнитных осей дают скорость вращения ротора.

1. Преобразование мгновенных значений напряжений в степенные функции

Мгновенные значения трехфазных напряжений описываются следующими зависимостями:

                                                               (1)

где - циклическая частота напряжения, рад/c.

На рис.1 показана связь мгновенных значений напряжений  с векторами  во временной системе координат, как их проекции на действительную ось . Работа в векторной форме существенно ускоряет процесс исследования, причем в любой момент времени легко перейти к косинусоидальной форме мгновенных значений. Выполнить, например, произведение множества косинусоид (синусоид) представляет довольно трудоемкую задачу, а в векторной форме произвести перемножение значительно легче.

Рис. 1. Связь мгновенных значений напряжений с векторами соответствующими во временной системе координат

 

Не меньшую роль в ускорении процессов математических преобразований играет представление с помощью формулы Эйлера мгновенных значений в степенные функции.

Выразим систему уравнений через степенные функции:

Итак, система уравнений в степенной форме имеет следующий вид:

                                                                           (2)

2. Переход от мгновенных значений напряжений к пространственному вектору

Пространственный вектор напряжения  определяется по следующей зависимости:

                                                                                    

где - единичные пространственные векторы.

                                                                (4)

Подставив в уравнение мгновенные значения напряжений в степенной форме  и единичные пространственные векторы получим:

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис.2 (в электронном варианте все векторы и их проекции даны в цветном варианте).

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось , далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производиться геометрическая сумма , и наконец, умножив полученный вектор на множитель  получим искомый вектор .


 

 

Рис. 2. Геометрический смысл построения пространственного вектора  по составляющим  и

.


3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 3.

Рис.3. Обобщённая асинхронная машина

 

Rs, ls, lms — параметры статорной обмотки,

Rr, lr, lmr — параметры роторной обмотки,

|lmsr|=|lmrs|=|lm|–коэффициенты взаимоиндуктивности при совпадении магнитных осей статора и ротора .

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

                     

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов.

Умножив обе части уравненияна единичный пространственный вектор , уравнения и — соответственно на  и . Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

                                                                                                    

Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:

                                                                                                    

5. Вектор потокосцепления статора АД

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,                                                                    

где  — мгновенные значения потокосцеплений статора;

, ,  — единичные пространственные векторы.

Уравнения ÷  представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе — на , и последнее уравнение  — на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой .

Переведем мгновенные значения токов статора и ротора с фазными переменными в степенные функции:

Аналогично, представим  и в степенной форме:

Или иначе, в удобной для запоминания форме:

Для первого столбца уравнение  определим пространственный вектор :

Потокосцепление можно выразить в следующей форме:

Для второго столбца:

Наконец, для третьего столбца:

,

где

где

Обозначим; ;; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора [1]:

                                                                                          

6. Вектор потокосцепления ротора АД

,                                                                             

Уравнения (14) ÷ (16) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе — на , третье — на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (22).

Пространственный вектор для первого столбца :

Пространственный вектор для второго столбца системы уравнений (23):

Пространственный вектор для третьего столбца (23):

,

 

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

 

                                                                                            (24)

7. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (25) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к другим системам координат. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.4.

Описание: C:\Users\Кирилл\Desktop\1.png

Рис.4. Система координат S.R.K.

 

– неподвижная система координат статора ();  — система координат, связанная с ротором,

- угол сдвига системы координат R по отношению к S, причем .

 — произвольная система координат,  — угол сдвига к неподвижной системе()

 — пространственный вектор напряжения статора.

 и  — этот же пространственный вектор напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

 

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (25) — (28) примет следующий вид:

,                                                                                              (29)

где , ,  — записаны в не подвижной системе координат статора .

                                                                                             (30)

где , ,  — пространственные векторы роторных величин в роторной системе координат R.

,                                                                                  (31)

где , , — векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  — в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

                                                                                (32)

где , , — векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  — в неподвижной системе координат .

7.1 Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

.

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

 и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

Окончательно .

В выражении  представим:  тогда

.

В уравнении (27) умножим обе части на :

,

.

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

 

Опуская индекс «статорная система координат», получим:

                                                                    (33)

7.2 Приведение уравнений к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

Уравнение (25) перепишем без изменений, т. к. оно уже записано в роторной системе координат:

Уравнение (26) умножим обе части на :

,

В уравнении (27) выразим , тогда

,

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27)имеют следующий вид:

Опуская индекс «роторная система координат», получим:

                                                                         (34)

7.3 Приведение уравнений к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

,

,

.

Уравнение (25) умножим на :

,

.

Уравнение (26) умножим на , тогда

,т. к. , то

.

Уравнение(27) умножим на , тогда

.

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

Опуская индекс «произвольная система координат», получим

                                                               (35)

 

Литература:

 

1.                     Ковач К. П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока/Пер. с нем. М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. 735 с.: ил.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, система координат, пространственный вектор, мгновенное значение напряжений, вектор, векторная форма, роторная система координат, система уравнений, действительная ось, асинхронный двигатель.


Похожие статьи

Пространственные векторы в асинхронном двигателе...

уравнение, пространственный вектор, вектор, мгновенное значение напряжений, система координат, система уравнений, роторная система координат, векторная форма, асинхронный двигатель...

Математическая модель асинхронного двигателя в неподвижной...

уравнение, система координат, структурная схема, роторная система координат, вектор, неподвижная система координат, асинхронный двигатель, электромагнитный момент, неподвижная система координат статора, система...

Математическое моделирование асинхронного двигателя...

Для неподвижной системы координат, основное уравнение в векторной форме переведены в систему относительных едениц.

Подставим значение из уравнения (10): Переведем полученное уравнение из оригинала в изображение. (18).

Исследование системы векторного управления...

Такой системой координат является система координат, вращающаяся с частотой поля статора двигателя о, то есть система координат (u — v) [4]. Если динамическая модель асинхронного двигателя выполнена в системе координат (u — v)...

Преобразования переменных в системах координат a, b, c и α, β

В двухфазной системе координат α, β пространственный вектор [1]

Проекции по оси (+j): Объединим уравнения в систему

В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид

Математическая модель асинхронного двигателя...

уравнение, система координат, асинхронный двигатель, математическая модель, Структурная схема, вращающийся вектор, Проекция уравнения, блок ориентации, преобразователь координат, электромагнитный момент.

Математическая модель асинхронного двигателя во...

. Вещественную ось обозначим , а мнимую через . Пространственные векторы в этом случае раскладываются по осям

С учетом электромагнитных моментов система уравнений в операторной форме примет вид

Обзор алгоритмов управления асинхронными электроприводами

асинхронный двигатель, система управления, векторное управление, трансформация координат, инвертор напряжения, тяговый электропривод троллейбусов, статорный ток, позиция ротора, случай управления, стратегия...

Математическая модель АД в неподвижной системе координат...

Пространственные вектора в этом случае раскладываются по осям

Основные термины (генерируются автоматически): структурная схема, уравнение, электромагнитный момент, неподвижная система координат, функция, система уравнений, результат моделирования...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Пространственные векторы в асинхронном двигателе...

уравнение, пространственный вектор, вектор, мгновенное значение напряжений, система координат, система уравнений, роторная система координат, векторная форма, асинхронный двигатель...

Математическая модель асинхронного двигателя в неподвижной...

уравнение, система координат, структурная схема, роторная система координат, вектор, неподвижная система координат, асинхронный двигатель, электромагнитный момент, неподвижная система координат статора, система...

Математическое моделирование асинхронного двигателя...

Для неподвижной системы координат, основное уравнение в векторной форме переведены в систему относительных едениц.

Подставим значение из уравнения (10): Переведем полученное уравнение из оригинала в изображение. (18).

Исследование системы векторного управления...

Такой системой координат является система координат, вращающаяся с частотой поля статора двигателя о, то есть система координат (u — v) [4]. Если динамическая модель асинхронного двигателя выполнена в системе координат (u — v)...

Преобразования переменных в системах координат a, b, c и α, β

В двухфазной системе координат α, β пространственный вектор [1]

Проекции по оси (+j): Объединим уравнения в систему

В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид

Математическая модель асинхронного двигателя...

уравнение, система координат, асинхронный двигатель, математическая модель, Структурная схема, вращающийся вектор, Проекция уравнения, блок ориентации, преобразователь координат, электромагнитный момент.

Математическая модель асинхронного двигателя во...

. Вещественную ось обозначим , а мнимую через . Пространственные векторы в этом случае раскладываются по осям

С учетом электромагнитных моментов система уравнений в операторной форме примет вид

Обзор алгоритмов управления асинхронными электроприводами

асинхронный двигатель, система управления, векторное управление, трансформация координат, инвертор напряжения, тяговый электропривод троллейбусов, статорный ток, позиция ротора, случай управления, стратегия...

Математическая модель АД в неподвижной системе координат...

Пространственные вектора в этом случае раскладываются по осям

Основные термины (генерируются автоматически): структурная схема, уравнение, электромагнитный момент, неподвижная система координат, функция, система уравнений, результат моделирования...

Задать вопрос