Векторные уравнения асинхронного двигателя в различных системах координат



При подготовке слайдов для проведения вебинаров возникла необходимость введения дополнительных обозначений при выводе уравнений асинхронного двигателя и сделаны существенные изменения в работе [1].

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

Сделаем существенное замечание по полученным векторным уравнениям. В уравнении (1) векторы , и записаны в неподвижной системе координат статора. В уравнении (2) векторы , и записаны во вращающейся системе координат ротора. В уравнениях (3) и (4) векторы даны в разных системах координат.

Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,

из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем примере (рис. 1).

Рис. 1. Система координат S , R , K

Уравнение (1), записанное в статорной системе координат, примет следующий вид:

(1’)

Уравнение (2) с векторными переменными в роторной системе координат:

(2’)

В уравнении (3):

(3’)

где и – векторы потокосцепления и ток статора записаны в неподвижной системе координат S , а – в роторной системе координат, сдвинутой к неподвижной системе координат на угол θ .

(4’)

где и – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R , а – в неподвижной системе координат статора S .

Несложно догадаться, что математическую модель асинхронного двигателя можно получить только при переводе всех уравнений (1’), …, (4’) к одной из систем координат.

Формулы приведения для напряжения и тока в статоре:

Формулы приведения для потокосцеплений в статоре и в роторе:

Для напряжения и тока в роторе формулы приведения записываются аналогично вектору

.

1. Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат.

Уравнение (1’) уже записано в статорной системе координат ( S ), поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнения (2’) на e ^jθ и сразу выразим :

Правила преобразования: 1. Производная от сложной функции ( u · ν ): 2. где α = -jθ .

Окончательно, уравнение (2’), приведенное к статорной системе:

Приведение уравнения (3’) к статорной системе координат:

Так как произведение e ^jθ · e ^{- jθ} = 1, то

Для приведения уравнения (4’) к статорной системе координат умножим обе части на e ^jθ :

Окончательно:

Опуская индекс «статорная система координат», получим:

2. Приведение векторных уравнений к роторной системе координат.

Умножим обе части уравнения (1’) на e ^{– jθ} и выразим :

Правила преобразования: 1. Производная от сложной функции ( u · ν ): 2. где α = jθ .

Окончательно:

Уравнение (2’) остается без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат.

Умножим обе части уравнения (3’) на e ^{– jθ} :

Окончательно:

В уравнении (4’) выразим

, тогда

Опуская индекс «роторная система координат», получим:

3. Приведение векторных уравнений к системе координат, вращающейся с произвольной скоростью Ω _к .

Умножим обе части уравнения (1’) на e ^{– jθ к} и сразу выразим :

Правила преобразования: 1. Производная от сложной функции ( u · ν ): 2. где α = jθ к .

Окончательно:

Умножим обе части уравнения (2’) на e ^{– j ( θ к – θ )} и сразу выразим :

Правила преобразования: 1. Производная от сложной функции ( u · ν ): 2. где α = j ( θ к – θ ).

Окончательно:

Умножим уравнение (3’) на e ^{– jθ к} , тогда

Уравнение (4’) умножим на e ^{– j ( θ к – θ )} , тогда

Опуская индекс «произвольная система координат», получим:

Литература:

1. Пространственные векторы в асинхронном двигателе в относительной системе единиц / А. А. Емельянов, А. М. Козлов, В. В. Бесклеткин [и др.]. - Текст: непосредственный // Молодой ученый. - 2015. - № 11 (91). - С. 133-156.
2. Ковач, К. П. Переходные процессы в машинах переменного тока / К. П. Ковач, И. Рац; пер. с нем. - Москва: Госэнергоиздат, 1963. - 735 c.
3. Шрейнер, Р. Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р. Т. Шрейнер, А. В. Костылев, В. К. Кривовяз, С. И. Шилин. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. - 361 c. - Текст: непосредственный.
4. Шрейнер, Р. Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты / Р. Т. Шрейнер. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654 c. - Текст: непосредственный.