Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Медведев А. В., Медведев А. В., Кобзев А. В., Шепельков А. В., Зарубин Е. А., Воробьев А. Н. Математическая модель АД в неподвижной системе координат с переменными // Молодой ученый. — 2011. — №4. Т.1. — С. 7-15.

При выполнении студентами дипломных и курсовых работ, связанных с моделированием асинхронного двигателя, возникает необходимость увеличения вариантов их модификаций. Одним из способов решения этой задачи является возможность выразить электромагнитный момент через различную комбинацию переменных токов и потокосцеплений двигателя [1, c.238] и [2]. Данная статья позволяет сформировать у студентов представление об одном из множества вариантов моделирования АД в «Matlab-Simulink» и проверки решения в «MathCAD». Вывод уравнений даем без сокращений, т. к. важен не только конечный результат, но и путь, ведущий к цели.

Основные уравнения математической модели АД, записаны в векторной форме в относительных единицах, имеют следующий вид [3]:

Исключим из системы уравнений и :

(1)

(2)

(3)

(4)

Определим электромагнитный момент через векторное произведение [1, c. 238]:

Из уравнения (3) выразим тогда,

.

Подставим в (4) уравнение:

.

Обозначим , , тогда

.

В уравнение (2) подставим :

Из уравнения (1) выделим и подставим в вышеприведенное уравнение:

Обозначим , , тогда

Рассмотрим процессы в неподвижной системе координат, , :

Во втором уравнение разделим обе части на и обозначим :

Вещественную ось обозначим , а мнимую через . Пространственные вектора в этом случае раскладываются по осям:

; ; .

Подставим эти значения в уравнения и, приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

(**)


Окончательно, с учетом электромагнитных моментов систем уравнений АД в неподвижной системе координат в операторной форме () запишется в виде:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)


Структурная схема для уравнения (1):

Структурная схема для уравнения (2):

Структурная схема для уравнения (3):

Структурная схема для уравнения (4):

Структурная схема для уравнения (5):



Структурная схема для уравнения (6):


Для моделирования выберем АКЗ со следующими паспортными данными и параметрами: , , , , , , , , , , , , .

Значения безразмерных коэффициентов в уравнениях, рассчитанные по выражениям, приведенным выше:

Коэффициент

Значение

262.36

6.55

0.975

0.974

0.0152

0.0165

0.203

783.5


Модель АКЗ, построенная по уравнениям (1) – (6), представленная на рис. 1.

На вход модели в момент времени подаются напряжения , , (), тем самым реализуя прямой пуск.

Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рис. 2. Они показывают, что при прямом пуске вначале наблюдается значительные колебания момента. Такие же колебания наблюдаются в токе и скорости.

Рис. 1. Модель АКЗ в неподвижной системе координат с переменными

Рис. 2. Результаты моделирования, относительные значения электромагнитного момента и скорости


Проверку решения произведем в программном пакете «MathCAD 14».
Врезка1Врезка2Врезка3Врезка4Врезка5Врезка6Врезка7Врезка8Врезка9Врезка10Врезка11Врезка12Врезка13Врезка14







Врезка15Врезка16Врезка17Врезка18Врезка19Врезка20Врезка21Врезка22Врезка23Врезка24Врезка25Врезка26Врезка27Врезка28Врезка29

















Врезка30
Врезка31





Врезка32










Систему уравнений (**) преобразуем в систему однородных дифференциальных уравнений (ОДУ):


Врезка33















Врезка34








Затем правые части ОДУ запишем в матричной форме, состоящей из 5 строк и одного столбца, в результате получим:




В которой:
Причем mc(t) – статический момент на валу двигателя.
Зададим начальные условия ira(0) = 0, irb(0) = 0, v(0) = 0.
Далее зададим функцию решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты четвертого порядка:

где tn – время начала расчета;
tk – время конца расчета;
y – начальные условия;
10000 – количество рассчитываемых точек;
f – функция, заданная матрицей, состоящей из правых частей ОДУ
Данная функция Z представляет собой матрицу, состоящую из 10000 строк и 6 столбцов:

Врезка35



Чтобы вывести функцию f = m(t) зададим индекс n в пределах 0..10000 и получим:


Результаты приведены на рис.3,4.

















Рис. 3. Функция v(t).

















Рис. 4. Функция m(t).

Литература:

  1. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. 654 с.

  2. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем Matlab 6.0: Учебное пособие. – Спб.: Корона принт. 2001. – 320с., ил.

  3. Емельянов А.А., Клишин А.В., Медведев А.В. Математическая модель АД в неподвижной системе координат с переменными [Текст] / Молодой ученый. – 2010. -№4. – С. 8-24.

  4. Шрейнер Р.Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления. Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. 361 с.




Обсуждение

Социальные комментарии Cackle