Библиографическое описание:

Гадаев Р. Р., Джонизоков У. А. О семействе обобщенных моделей Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 5-7.



Некоторые задачи физики твердого тела [1], квантовой теории поля [2] и статистической физики [3] приводят к необходимости исследования резонансов и собственных значений обобщенной модели Фридрихса.

В настоящей работе рассматривается семейство обобщенных моделей Фридрихса ,. Рассмотрим случай, когда параметр функция (см. ниже) имеет специальный вид и имеет невырожденный минимум в , в различных точках шестимерного тора .

Пусть — трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю . Пусть — одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обозначим через прямую сумму пространств и , т. е. . Гильбертово пространство называется двухчастичная обрезанная подпространства Фоковского пространства.

Рассмотрим семейство обобщенных моделей Фридрихса , действующих в гильбертовом пространстве и задающийся как операторная матрица

(1)

где операторы , , и ,

определяются по формулам

, ,

, .

Здесь , -вещественнозначная непрерывная (ненулевая) функция на , а функции и имеют вид , , где функция определяется с помощью равенства

, ,

а натуральное число. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

Легко можно проверить, что в этих предположениях оператор , , определенный по формуле (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Пусть оператор , действует в как

.

Оператор возмущения , оператора , является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора , совпадает с существенным спектром оператора , . Известно, что , где числа и определяются равенствами

, ,

, .

Из последних двух фактов следует, что

. (2)

Замечание 1.Отметим, что существенный спектр оператора , совпадает с точкой и следовательно, для любого мы не можем сказать, что существенный спектр оператора является абсолютно непрерывным.

Обозначим через число тех точек таких, что , и , , , для всех , где

Легко можно проверить, что и функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Дополнительно будем предпологать, что Потому что, если , тогда и в настоящей работе нам интересен случай .

Замечание 2. Заметим, что верно равенство , .

Из определения числа и равенства (2) вытекает, что . При каждом фиксированном определим регулярную в функцию (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором , )

.

Далее, везде дополнительно предполагается, что все частные производные первого порядка функции непрерывны на .

Так как функция имеет невырожденный минимум, равный нулю в точках , и все частные производные первого порядка функции непрерывны на , существует конечный интеграл

, .

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега и равенства , следует, что

, .

Теорема 1.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда и , .

Литература:

  1. D. C. Mattis. The few-body problem on a lattice. Rev. ModernPhys., 58 (1986), No. 2, 361–379.
  2. Фридрихс К. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир.1972.
  3. Малышев В. А., Минлос Р. А. Кластеpные операторы. Тpуды семинаpа им. И. Г. Петpовского, 1983. Вып. 9. c.63–80.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle