Библиографическое описание:

Жураев З. Ш., Шафиев Т. Р. К оценке погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве С. Л. Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 11-13.



Рассмотрим кубатурную формулу общего вида

(1)

над пространством С. Л. Соболева . Здесь, соответственно, и являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1), — весовая функция, , -мерный тор и — порядок обобщенных производных и .

Определение 1. Множество , где , т. е. дробная доля , называется -мерным тором.

Определение 2. Пространство — определяется как пространство функций, заданных на - мерном торе и имеющих все обобщенные производные порядка суммируемые с квадратом в норме [1–4]

(2)

со скалярным произведением

(3)

где — коэффициенты Фурье, т. е. .

Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.

называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция

(4)

и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь — характеристическая функция .

Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева — это вычисление следующей величины:

(5)

где — сопряженное пространство к пространству . Для оценки погрешности кубатурной формулы необходимо решить следующую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.

Сначала мы должны вычислить норму функционала погрешности в пространстве , а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя и , необходимо решить следующую задачу

Задача 2.Найти такие значения и , чтобы выполнялось равенство (5).

В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы (1) с заданием производных. Для нахождения нормы функционала погрешности (4) в пространстве используется его экстремальная функция.

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен

(6)

где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Справедлива следующая

Теорема 2.Функция

является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .

На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса имеет оценку: [4]

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
  2. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
  3. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
  4. Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Ташкент, 1975. — 102 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle