Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 20 раз

Библиографическое описание:

Хаятов Х. У. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 58-60. — URL https://moluch.ru/archive/117/32006/ (дата обращения: 22.09.2018).



В работе в пространстве -функций, заданных на сфере и обладающих квадратично суммируемыми обобщенными производными порядка , вычислены нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы с производными. А также исследовано выражение нормы функционала погрешности для двухмерной единичной сфере.

In the work in the space of functions given on sphere and possessing square integrable generalized derivatives of -th order the norm of the error functional of weight cubature formulas with derivative is calculated. Futhermore, the expression of the norm of the error functional on two dimensional unique sphere is investigated.

Пусть функции , заданные на единичной сфере S принадлежат некоторому Банаховому пространству B, вложенному в пространство непрерывных функций на S. Функции продолжим на все пространство , считая их постоянными на лучах, выходящих из центра сферы S и будем обозначать через .

Рассмотрим погрешность кубатурной формулы

,(1)

на функциях из B:

, (2)

,

, — дельта функции Дирака, ,

, и ,, -

нулевой коэффициент Фурье .

Функция для которой имеется место равенство

,

называется экстремальной функцией.

Погрешность (2) кубатурной формулы (1), очевидно, является функционалом, заданном на в силу предположения вложенности [1], этот функционал будет непрерывным. Поэтому он и его норма определяется по формуле [3]

.

Функция для которой имеется место равенство

,

называется экстремальной функцией.

Таким образом, задача оценки погрешности кубатурной формулы на функциях некоторого пространства , равносильна вычислению значения нормы функционала погрешности в сопряжённом к пространстве или что тоже самое, нахождению экстремальной функции для данной кубатурной формулы. Для решения этой задачи в качестве возьмём пространство — функций заданных на и обладающих квадратично суммируемыми обобщёнными производными порядка , норма которых определяется равенством

(3)

и предположим, что .

Справедлива следующая

Теорема. Норма функционала погрешности кубатурной формулы (1) над пространством равна

,

где .

На основании этой теоремы, функционал погрешности кубатурной формулы (1) для функций класса имеет оценку:

.

Литература:

  1. Соболев. С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.:Наука, 1974. 808 с.
  2. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука, 1950.
  3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., Наука, 1965
  4. Салихов Г. Н. Оценка погрешности кубатурных формул в пространстве . ДАН СССР, 1975 т. 223, № 6, 1318–1321.
  5. Freeden W. An application of summation formula to numerical computation of integrals over the sphere.-Computing, 1980, v.23. № 2, p.131–146.
Основные термины (генерируются автоматически): формула, функция, экстремальная функция, норма функционала погрешности, обобщенная производная порядка, пространство.


Похожие статьи

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.

Постановка задачи для построения оптимальной...

функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы интерполяционной формулы (1), , –дельта-функция Дирака

Задача 1. Найти норму функционала погрешности рассматриваемой интерполяционной формулы .

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости...

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Пространство — определяется как пространство функций заданных на одномерном торе и имеющих все обобщённые производные порядка суммируемые с

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.

Постановка задачи для построения оптимальной...

функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы интерполяционной формулы (1), , –дельта-функция Дирака

Задача 1. Найти норму функционала погрешности рассматриваемой интерполяционной формулы .

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости...

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Пространство — определяется как пространство функций заданных на одномерном торе и имеющих все обобщённые производные порядка суммируемые с

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.

Постановка задачи для построения оптимальной...

функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы интерполяционной формулы (1), , –дельта-функция Дирака

Задача 1. Найти норму функционала погрешности рассматриваемой интерполяционной формулы .

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости...

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Пространство — определяется как пространство функций заданных на одномерном торе и имеющих все обобщённые производные порядка суммируемые с

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве . В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая.

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.

Постановка задачи для построения оптимальной...

функционал погрешности интерполяционной формулы , – коэффициенты, а –узлы интерполяционной формулы (1), , –дельта-функция Дирака

Задача 1. Найти норму функционала погрешности рассматриваемой интерполяционной формулы .

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

Функция из называется экстремальной функцией для функционала погрешности , если выполняется равенство. . Пространство является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости...

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле

Обобщённая функция. (2). называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1)

Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со...

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Пространство — определяется как пространство функций заданных на одномерном торе и имеющих все обобщённые производные порядка суммируемые с

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством...

Норма функции. (2). Обобшенною функцию. (3). назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен.

Задать вопрос