Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством Cоболева | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 26 раз

Библиографическое описание:

Бакаев И. И. Оптимальная весовая кубатурная формула над пространством Cоболева // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 1-3. — URL https://moluch.ru/archive/117/31871/ (дата обращения: 12.12.2018).



Современная постановка проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования заключается в минимизации нормы функционала погрешности формулы на выбранных нормированных пространствах [1–3].

Рассмотрим кубатурную формулу общего вида

(1)

над пространством С. Л. Соболева . Здесь соответственно и являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1), — весовая функция, , -мерный тор и — порядок обобщенных производных и .

Норма функции

(2)

Обобшенною функцию

(3)

назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (3) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен

где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Доказательство. Известно, что для функции справедливо следующее равенство:

где , т. е. коэффициенты Фурье.

Таким образом, имеем

(4)

Здесь , .

Применяя к правой части (4) неравенство Коши-Шварца и учитывая (2) получим следующую оценку

(5)

Принимая во внимание (2)и (5), получим

(6)

где(7)

Таким образом, имея ввиду(7) и (6) получим

(8)

Существует такая функция из , что в неравенстве (8) равенство достигается.

Действительно, рассмотрим следующую функцию :

Вычисляя значение функционала на функцие получим

(9)

Учитивая (9),(6) получим доказательство теорема.

Введём обозначения , тогда для функционала погрешности кубатурной формулы (1) при имеет место следующая теорема, которая является основным результатом этой работы.

Теорема 2. Среди всех кубатурных формул вида (1) при

и ,

оптимальная в пространстве является единственная формула с коэффициентами тогда, когда как узлы кубатурной формулы являются образом решетки на торе и коэффициенты которой равны между собой ,

где

.

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
  2. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
  3. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
Основные термины (генерируются автоматически): коэффициент, общий вид, теорема, формула, функционал погрешности, функция.


Похожие статьи

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен. (6). где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1). Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

, , — дельта функции Дирака, , , и , , - нулевой коэффициент Фурье . Функция для которой имеется место равенство.

На основании этой теоремы, функционал погрешности кубатурной формулы (1) для функций класса имеет оценку

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул в пространстве

Теорема.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве.

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (2) квадратурной формулы типа Эрмита вида (1) над пространством равен.

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения.

Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности. определяется формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и...

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен. (6). где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1). Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

, , — дельта функции Дирака, , , и , , - нулевой коэффициент Фурье . Функция для которой имеется место равенство.

На основании этой теоремы, функционал погрешности кубатурной формулы (1) для функций класса имеет оценку

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул в пространстве

Теорема.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве.

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (2) квадратурной формулы типа Эрмита вида (1) над пространством равен.

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения.

Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности. определяется формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен. (6). где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1). Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

, , — дельта функции Дирака, , , и , , - нулевой коэффициент Фурье . Функция для которой имеется место равенство.

На основании этой теоремы, функционал погрешности кубатурной формулы (1) для функций класса имеет оценку

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул в пространстве

Теорема.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве.

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (2) квадратурной формулы типа Эрмита вида (1) над пространством равен.

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения.

Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности. определяется формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и...

К оценке погрешности кубатурных формул общего вида...

Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен. (6). где — коэффициенты, — узлы кубатурной формулы (1) и — коэффициенты Фурье функции , т. е. .

Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных...

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1). Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над...

, , — дельта функции Дирака, , , и , , - нулевой коэффициент Фурье . Функция для которой имеется место равенство.

На основании этой теоремы, функционал погрешности кубатурной формулы (1) для функций класса имеет оценку

Решение задачи для нормы функционала погрешности...

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой.

К оценке погрешности весовых кубатурных формул в пространстве

Теорема.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве.

Построение оптимальных квадратурных формул типа Эрмита...

Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (2) квадратурной формулы типа Эрмита вида (1) над пространством равен.

Отыскание минимума нормы функционала погрешности по и есть задача исследование функции на экстремум.

Экстремальная функция и представление нормы функционала...

По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения.

Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности. определяется формулой.

Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной...

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и...

Задать вопрос