1. Мультиномиальная теорема
Рассмотрим полином Ньютона [1] — выражение вида
где
Здесь сумма берется по всем неотрицательным целым индексам
При
где
Докажем формулу для полинома Ньютона (мультиномиальную теорему) методом математической индукции по
База индукции.
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.011.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.012.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.013.png)
Шаг индукции.
Предположим, что мультиномиальная теорема верна для
Надо доказать утверждение для
Начнем доказательство.
=
Применяя биномиальную теорему к последнему множителю получаем:
=
Что завершает шаг индукции.
Последнее следует из того, что
2. Поиск наибольшего члена разложения бинома Ньютона
Рассмотрим бином Ньютона:
Пусть
Тогда для наибольшего члена разложения имеем:
Также для наибольшего члена разложения имеем:
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.030.png)
Окончательно,
Так как интервал Δ нахождения номера k наибольшего члена разложения
Данное значение
Тогда значение наибольшего члена разложения равно:
Следует заменить, что если значения выражений
По приведенным выше формулам также, например, для выражения
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.041.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.042.png)
Пример № 1.
Найти наибольший коэффициент разложения
Решение 1.
Общий член данного разложения есть
Имеем
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.047.png)
Чтобы найти, где коэффициенты возрастают, решаем
Имеем
Так как
Последовательность коэффициентов возрастает от
Следовательно,
Решение 2.
Воспользуемся формулой (4):
Имеем,
Наибольший коэффициент:
Пример № 2.
Найти наибольший коэффициент разложения
Решение.
Воспользуемся формулой (4):
Имеем,
Наибольшие коэффициенты:
3. Поиск наибольшего члена разложения полинома Ньютона
Рассмотрим полином Ньютона
Пусть
Тогда имеем систему неравенств для
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.070.png)
...
А также
...
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.074.png)
Расписывая неравенство (6) получаем:
Аналогично из неравенства (7) следует
C другой стороны из неравенства (8) следует
Похожим образом выписывая неравенства для
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.086.png)
3.1. Алгоритм нахождения наибольшего члена разложения полинома Ньютона.
В данной задаче будем рассматривать положительные слагаемые в полиноме Ньютона. Расположим их, для удобства, в порядке увеличения:
На основании результатов раздела 2 положим:
...
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.090.png)
Вычислим
Если выполняется условие
Если условие
Отдельно следует рассмотреть случай, когда возникает равенство
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.107.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.103.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.108.png)
Условия возникновения данного равенства предполагается рассмотреть в последующих работах.
Пример № 3.
Найти наибольший член разложения:
а)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.111.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.112.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/4538/4538.113.png)
Решение.
Длярешения данной задачи в программе Microsoft Excel были написаны выведенные выше формулы, которые позволили получить следующие результаты:
Для
Для
Для
Литература:
- https://ru.wikipedia.org/wiki/ Бином_ Ньютона