Нахождение наибольшего члена разложения полинома Ньютона

Бумаженко, Анна Александровна; Волкова, Евгения Вячеславовна

1. Мультиномиальная теорема

Рассмотрим полином Ньютона [1] — выражение вида

(1)

где

— мультиномиальные коэффициенты.

Здесь сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона считается, что выражение , даже если

.

При , выражая , получим бином Ньютона :

(2)

где - биномиальные коэффициенты.

Докажем формулу для полинома Ньютона (мультиномиальную теорему) методом математической индукции по .

База индукции.

. Обе части равенства равны

, так как в сумме есть только одно слагаемое

.

Шаг индукции.

Предположим, что мультиномиальная теорема верна для .

Надо доказать утверждение для .

Начнем доказательство.

=

Применяя биномиальную теорему к последнему множителю получаем:

=

Что завершает шаг индукции.

Последнее следует из того, что

2. Поиск наибольшего члена разложения бинома Ньютона

Рассмотрим бином Ньютона:

Пусть - -ый член разложения бинома Ньюнона.

Тогда для наибольшего члена разложения имеем:

Также для наибольшего члена разложения имеем:

Окончательно, (3)

Так как интервал Δ нахождения номера k наибольшего члена разложения равен 1 (Δ = = 1), то существует, по крайней мере, одно целочисленное значение при котором член разложения наибольший.

Данное значение

определяется по формуле:

, где [x] — целая часть числа. (4)

Тогда значение наибольшего члена разложения равно:

(5)

Следует заменить, что если значения выражений и целые числа, то тогда существуют два равных наибольших члена разложения бинома Ньютона с номерами и .

По приведенным выше формулам также, например, для выражения

можно определить наибольший коэффициент разложения

.

Пример № 1.

Найти наибольший коэффициент разложения .

Решение 1.

Общий член данного разложения есть , его коэффициент . Следующий коэффициент .

Имеем

.

Чтобы найти, где коэффициенты возрастают, решаем или .

Имеем , что эквивалентно .

Так как - целое число, следовательно, для

= 0, 1, 2, …, 14, 15.

Последовательность коэффициентов возрастает от до и убывает от до .

Следовательно, - наибольший коэффициент

= 875957725629.

Решение 2.

Воспользуемся формулой (4):

Имеем, = =

Наибольший коэффициент: = 875957725629.

Пример № 2.

Найти наибольший коэффициент разложения

.

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

Имеем, = =

Наибольшие коэффициенты: = 1792 и

= 1792.

3. Поиск наибольшего члена разложения полинома Ньютона

Рассмотрим полином Ньютона

Пусть - наибольший член разложения полинома Ньюнона.

Тогда имеем систему неравенств для :

(6)

(7)

...

А также

(8)

(9)

...

Расписывая неравенство (6) получаем:

>

(10)

Аналогично из неравенства (7) следует и т. д.

C другой стороны из неравенства (8) следует

, из неравенства (9) следует

и т. д.

Похожим образом выписывая неравенства для окончательно получим для любых , , где и изменяются от до и :

(11)

3.1. Алгоритм нахождения наибольшего члена разложения полинома Ньютона.

В данной задаче будем рассматривать положительные слагаемые в полиноме Ньютона. Расположим их, для удобства, в порядке увеличения: .

На основании результатов раздела 2 положим:

...

Вычислим и для для всех от до .

Если выполняется условие

, то данные значения

удовлетворяют нашим требованиям и

- наибольший член разложения полинома Ньюнона.

Если условие не выполняется, то тогда принимаем и . Повторяем проверку условия и, при необходимости, изменяем значения и до тех пор, пока не выполнится данное условие.