I. Введение

Если взять окружность любого радиуса и посчитать отношение длины этой окружности к её диаметру, мы получим знаменитую математическую постоянную

Нужно заметить, что данное определение действительно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к её диаметру может быть иным. Например, в геометрии Минковского — Банаха , причём число π может принимать любые значения в указанном промежутке [1].

Текущий мировой рекорд точности вычисления числа π был установлен 11 декабря 2025 г. инженерами лаборатории StorageReview и составляет 314 триллионов знаков после запятой. Данный расчёт был выполнен с помощью формулы братьев Чудновских.

На приведённом ниже рисунке показано, как изменялась точность вычисления числа π, измеренная в десятичных знаках [2].

Существует множество методов, алгоритмов и формул для вычисления численного значения числа π. Я попробую показать некоторые из них.

II. Геометрический метод

То, что отношение длины окружности к её диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам; древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э.

Впервые «научный» подход к вычислению значения π в V–IV вв. до н. э. применили древнегреческие учёные Антифон и Бризон. Они предложили для нахождения приближённого значения числа π использовать как вписанные в окружность, так и описанные вокруг неё многоугольники. Учёные отметили, что периметр многоугольника, описанного вокруг окружности, больше её длины, а периметр вписанного — меньше.

Эту идею претворил в жизнь знаменитый учёный Архимед. Он последовательно определил периметры вписанных и описанных 6-, 12-, 24-, 48-, 96-угольников. Результатом этих расчётов стал вывод, что или Он предложил для приближённого вычисления π верхнюю из найденных им границ: .

Следующее приближение связано с астрономом Клавдием Птолемеем (около 100–170 гг. н. э.), который вписал 720-угольник в единичную окружность и получил приближение .

Около 265 г. н. э. китайский математик Лю Хуэй представил простой и точный итеративный алгоритм (алгоритм Лю Хуэйя) для вычисления π с произвольной точностью. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение

В 480-х гг. китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π ≈ , и показал, что , используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12 288-угольнику.

Следующее достижение было получено французским математиком Франсуа Виетом (1540–1603). Он нашёл периметры правильных вписанного и описанного 393 216-угольников ( ) и получил оценку . Эта оценка дала 10 верных знаков числа π.

Для получения 16 верных знаков голландец Адриан Ван Ромен (1561–1615) использовал 1 073 741 824-угольники ( ).

Последним математиком, который шёл по этому пути, был голландец Лудольф Ван Цейлен (1540–1610). Он потратил 10 лет на вычисление периметров многоугольников по методу Архимеда. Лудольф дошёл до 32 212 254 720-угольника ( ) и получил 20 верных знаков числа π, а ещё 15 верных знаков были обнаружены в его рукописях уже после смерти.

III. Методы, основанные на тождествах

1. Ряд Мадхавы — Грегори

В 1400-х гг. индийский астроном и математик Мадхава из Сангамаграмы (1350–1425) первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды и получил разложение функции в ряд [3]:

, .

Отсюда он нашёл первый из рядов для нахождения числа π:

Этот результат стал известен как ряд Мадхавы — Грегори или ряд Лейбница (после того, как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори в 1671 г. и Вильгельмом Лейбницем в 1676 г.). Но этот ряд сходится к π очень медленно: необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако Мадхава, положив (после него в Европе это сделал Абрахам Шарп в 1699 г.), преобразовал данный ряд в

и вычислил, что верно определив 11 знаков в записи числа.

Я также использовала разложение функции и получила, возможно оригинальные ряды типа Мадхавы — Грегори для вычисления числа π. К сожалению, данные ряды медленно сходятся и непригодны для практических расчётов.

Рассмотрим ряд

который сходится при . Построим ряд

путём изменения знаков некоторых членов ряда так, чтобы после трёх положительных членов следовало три отрицательных.

Используя возможность интегрирования степенного ряда (рассматривая каждый член отдельно), в интервале сходимости получаем следующее соотношение для каждого :

Так как сумма бесконечной геометрической прогрессии

получаем:

.

Таким образом,

.

Так как

то, используя метод неопределённых коэффициентов, получаем:

.

Приведя левую часть равенства к общему знаменателю, находим значения коэффициентов: .

Замена , .

Пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Окончательно:

(1)

Поступим как Мадхава, положив . Тогда:

Аналогично вышенаписанному:

Воспользуемся тем, что при и тем, что функция — нечётная.

Тогда:

Окончательно:

(2)

При значение где верными являются 9 знаков.

Можно построить ряд

путём изменения знаков некоторых членов ряда так, чтобы после двух положительных членов ряда следовали два отрицательных. В этом случае для вычисления числа π получим следующий ряд:

(3)

(Для вычисления значений интегралов данного раздела использовался ИИ.)

2. Формулы типа Мэчина

Формулы вида

названы в честь Джона Мэчина, который в 1706 г. нашёл эффективную формулу для вычисления числа π [4]:

.

Для оценивания эффективности формул типа Мэчина в 1938 г. Деррик Лемер предложил меру μ, определяемую по формуле [5]

Чем меньше мера, тем эффективнее формула для вычисления.

Однако при вычислении числа π с помощью компьютеров возникает проблема хранения данных вычислений и значение величины μ уже не является критерием эффективности. Например, в 2002 г. Ясумаса Канада и его команда, используя определённый прием для оптимизации компьютерных вычислений, установили рекорд, вычислив 1,2411 триллиона знаков числа π с помощью ряда, открытого школьным учителем Кикуо Такано в 1982 г.:

который обладает мерой В дальнейшем мы уменьшим меру данного ряда.

Любой из читателей может с легкостью вывести свою «личную» формулу типа Мэчина. Для этого необходимо использовать несколько простых формул. Укажем некоторые из них.

Из равенства

имеем:

Замены:

Окончательно получаем:

(4)

Также:

(5)

. (6)

К примеру, на основании вышеприведённых соотношений выведем формулу Мэчина:

.

Имеем:

Тогда:

.

Мера формулы Мэчина .

Укажем ещё несколько вспомогательных формул:

(7)

(8)

(9)

где значения выражений и являются натуральными числами.

(10)

Данные формулы выводятся из формул (4)–(6).

Также оказывается очень полезной формула, доказанная Карлом Гауссом:

(11)

Пример 1. Доказать формулу (9).

Доказательство. Пусть

Последовательно имеем:

Тогда:

Следовательно,

.

Докажем, что

.

Пусть

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, получим систему уравнений:

Решение системы: .

Окончательно:

Можно заметить, что значения выражений и — чётные числа независимо от того, является ли натуральное число чётным ( ) или нечётным ( ):

Пример 2. Доказать формулу

(12)

Доказательство. Имеем:

Тогда

Окончательно:

Также:

Покажем, как можно получать «новые» формулы типа Мэчина.

Пример 3. Получить формулы типа Мэчина, используя формулу Эйлера:

.

Решение.

=

Получаем:

Мера данной формулы .

Далее:

Окончательно:

Мера данной формулы .

Пример 4. Получить формулы типа Мэчина, используя формулу Гаусса:

.

Решение. Применив формулу (11), последовательно получаем:

Но

тогда:

Окончательно:

Мера данной формулы , в то время как мера первоначальной формулы Гаусса .

Преобразуем полученную нами формулу:

Тогда:

Мера данной формулы .

Далее:

Для удобства обозначим , тогда:

Далее:

Окончательно:

и так далее.

Пример 5. Вывести формулу для вычисления числа π вида:

Решение. Пусть

Тогда, согласно формуле (11), имеем:

Далее, используя, что , получаем:

Аналогично:

,

.

Тогда:

Мера данной формулы .

Немного её преобразуем. Так как

то окончательно получаем:

Мера данной формулы .

Следующим этапом при желании можно изменять меру формул, ранее выведенных другими авторами.

Пример 6. Вывести формулу для вычисления числа π, используя формулу Кикуо Такано:

.

Решение. Как известно, мера данной формулы .

Имеем:

Тогда:

Мера данной формулы .

Далее:

Тогда, используя сокращённую запись , получаем:

Мера данной формулы .

Можно продолжить:

Тогда, используя ту же сокращённую запись, получаем:

Данная формула похожа на формулу Карла Стёрмера (1898):

Пример 7. Вывести формулу для вычисления числа π, используя формулу Йорга Арндта (2002):

Решение. Мера исходной формулы

Имеем:

Тогда:

Мера данной формулы .

Пример 8. Вывести формулу для вычисления числа π, используя формулу Эдварда Эскотта (1896):

Решение. Мера исходной формулы

Последовательно имеем:

Окончательно, используя краткую запись, получим:

Мера данной формулы .

3. Формулы Рамунаджана и братьев Чудновских

Формула, полученная Сринивасой Рамануджаном в 1910 г.:

.

Уже при суммировании первых 100 элементов этого ряда достигается точность в 600 верных знаков.

Формула, опубликованная братьями Чудновскими в 1988 г.

основывается на свойствах быстрой сходимости гипергеометрического ряда.

Каждый шаг ряда данной формулы увеличивает точность вычислений в среднем на 14 десятичных знаков. С 2010 г. все мировые рекорды вычисления знаков числа π установлены благодаря данной формуле. Желающие могут ознакомится с её «элементарным» выводом в работе [6].

4. Формулы типа Бэйли — Боруэйна — Плаффа

Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа для вычисления числа π была открыта в 1995 г. Саймоном Плаффом [7]. Формула позволяет вычислить любую конкретную цифру числа π в шестнадцатеричной системе без вычисления промежуточных цифр и имеет вид:

Открытие этой формулы стало неожиданностью, поскольку считалось, что вычисление n -й цифры числа π так же сложно, как и вычисление первых n цифр.

Формула Беллара была открыта Фабрисом Белларом в 1997 г. Она примерно на 43 % быстрее, чем формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, и позволяет вычислить любую конкретную цифру числа π в двоичной системе без вычисления промежуточных цифр. Формула Беллара имеет вид:

Одно из важных применений этих формул — проверка вычислений всех цифр числа π, выполненных другими способами. Вместо того чтобы дважды вычислять все цифры с помощью двух разных алгоритмов для обеспечения правильности вычисления, последние цифры вычисления можно проверить с помощью гораздо более быстрой формулы Беллара или Бэйли — Боруэйна — Плаффа.

Вызывает интерес получение формулы, позволяющей получить n -ю цифру числа π в десятичной системе. Насколько мне известно, на июль 2026 г. подобной формулы не найдено. В 2022 г. Плафф опубликовал формулу, позволяющую получить n -ю цифру числа π в десятичной системе, но фактически она требует вычисления предыдущих цифр, поскольку берёт n -ю цифру приближённого значения числа [8].

IV. Алгоритмы

1. Алгоритм Гаусса — Лежандра

Алгоритм Гаусса — Лежандра также носит название AGM-алгоритма (сокр. от arithmetic-geometric mean — «среднее арифметико-геометрическое»).

Карл Гаусс рассмотрел следующий итерационный процесс:

; ; ;

Он определил среднее арифметико-геометрическое двух чисел a и b как общий предел:

.

Тогда:

По непонятным причинам Гаусс не использовал данную формулу для вычисления числа π. В 1975 г. она была заново открыта Юджином Саламином и Ричардом Брентом, которые выразили её соответствующим образом для итерационных вычислений.

Принимаем начальные условия:

; ; ; .

Повторяем до тех пор, пока разница между и не окажется в пределах желаемой точности:

; ; ;

Тогда:

Данный алгоритм примечателен своей быстрой сходимостью: всего 25 итераций дают 45 миллионов верных знаков числа π. Однако у него есть некоторые недостатки, например он требует больших объёмов компьютерной памяти.

2. Алгоритм Боруэйна

Данный алгоритм, открытый в 1985 г. Джонатаном и Питером Боруэйнами, сходится чрезвычайно быстро [9].

Принимаем:

; .

Последовательно выполняем итерации:

.

Тогда:

Данный алгоритм даёт около 100 знаков числа π за 3 шага и более триллиона знаков за 20 шагов.

V. Другое

1. Вероятностные методы

1.1. Метод Монте-Карло

Вычисление π методом Монте-Карло основано на случайном бросании точек в круг, вписанный в квадрат. Вероятность Р того, что точка попадёт внутрь круга, равна отношению площадей:

.

Вызывает интерес вопрос: в пространстве какой размерности погрешность вычисления π будет наименьшей при прочих равных условиях?

Объём n -мерного куба:

,

где R — радиус вписанного n -мерного шара.

Объём n-мерного шара:

Тогда отношение объёма n -мерного шара к объёму описанного n -мерного куба равно

и при стремится к нулю быстрее, чем .

Например, для :

Размерность пространства	2	3	4	5	6	7	8
Отношение объёма n -мерного шара к объёму описанного n -мерного куба

1.2. Игла Бюффона

Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 г. Суть метода состояла в бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r друг от друга. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

При условии r > L вероятность того, что игла пересечёт прямую:

.

Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближённо определить число π.

У данной задачи существует вариация «Макаронина Бюффона» с таким же ответом. Суть вариации — в бросании плоской кривой любой формы («макаронины») длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r друг от друга.

2. Интегралы

В 1944 г. инженер-электрик Дональд Далзелл установил, что

так как

.

Тогда:

Действуя аналогичным образом, в 2005 г. Стивен Лукас показал [10]:

Это даёт следующую оценку:

.

3. Физика

Физики, изучая квантовую теорию поля, случайно открыли новую формулу для вычисления числа π [11]:

При слагаемое под знаком суммы переходит в , что соответствует ряду Лейбница. В то время как для сходимости ряда Лейбница до 10 знаков после запятой требуется 5 миллиардов членов, данная формула с λ от 10 до 100 требует 30 членов.

Литература:

1. Жуков А. В. О числе π. — Москва : МЦНМО, 2002. — 32 с.
2. Approximations of pi // Wikipedia. — URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_pi (дата обращения 28.07.2026).
3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — Москва : Наука, 1977. — 229 с.
4. Machin-like formula // Wikipedia. — URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula (дата обращения 28.07.2026).
5. Lehmer D. H. On Arccotangent Relations for π // The American Mathematical Monthly. — Vol. 45, No. 10 (1938). — P. 657–664.
6. Milla L. A detail proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis. — URL: https://arxiv.org/abs/1809.00533 (дата обращения 28.07.2026).
7. Bailey D. H., Borwein P. B., Plouffe S. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants // Mathematics of Computation. — Vol. 66 (218), 1996. — P. 903–913.
8. Plouffe S. A formula for the n`th digit of π and . — URL: https://arxiv.org/pdf/2201.12601 (дата обращения 28.07.2026).
9. Borwein J. M., Borwein P. B. Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. — Wiley-Interscience, New York, 1987. — 414 p.
10. Stephen L. (2005), Integral proof that 355/113 > π // Australian Mathematical Society Gazette. — Vol. 32 (4). — P. 263–266.
11. Saha A., Sinha F. Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes // Physical Review Letters. — Vol. 132 (2024), 221601.