Решение одной геометрической задачи несколькими способами



В данной статье рассматривается решение одной геометрической задачи разными способами. Отыскание различных способов решения задач — важнейшее средство развития творческого мышления учащихся, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

Ключевые слова: треугольник, медиана, высота, биссектриса, угол.

Лучше решить одну задачу несколькими методами, чем несколько задач — одним.

Д. Пойя

В современной педагогике преподавательская практика точных наук показывает, что для учащихся 7–9 классов обучение предмету математики, особенно геометрии, посредством предложения разных путей решения задач является одним из лучших методов (способов), который может привлечь внимание ученика, повысить его заинтересованность и стремление к решению задач. В качестве примера такого подхода приведём решение несколькими разнообразными способами следующей задачи из области геометрии.

Задача. В треугольнике АВС из вершины А проведены высота, биссектриса и медиана. Они делят угол А на четыре равные части. Доказать, что этот угол прямой.

Ниже предлагается 11 путей решения этой задачи.

Способ I. Метод равенства площадей.

1) Площадь треугольника АВС (рис.1) можно записать в виде: или

, откуда , (1). Из прямоугольного треугольника AFB имеем: , (2). Из прямоугольного треугольника AFC имеем: , (3), , откуда , (4). Из прямоугольного треугольника AFD имеем: , откуда , (5). Отрезок , (6). Используя соотношения (1) — (6), можно записать: или , так как

и , тогда

Рис. 1

Способ II. Применение теоремы Стюарта.

2) Треугольник АВС (рис.1) будет прямоугольным тогда, когда AD=BD . По теореме косинусов из треугольника АВС будем иметь: , (1). По теореме Стюарта (при любом положении точки D на стороне ВС треугольника АВС ) имеет место соотношение: . Учитывая, что BD=CD , можно записать: , откуда

, (2). Используя выражения (1) и (2), получим: , отсюда: , (3). Используя выражение (3) с учётом, что BC=2BD , имеем: , (4). В выражении (4) при следует, что AD=BD . Так как , следовательно, , откуда , что и требовалось доказать.

Способ III. Применение теоремы о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.

3) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольников АВС и АВЕ (рис.1) имеем: и

. Очевидно, что AC=AE . Учитывая это, получим: , (1).Так как Δ AEC равнобедренный, то СF=EF , тогда СE=2CF , (2). Учитывая, что BD=CD и BE=CD+DE , (3), CD=2CF+DE , (4) и соотношение (1), можно записать: или , откуда , или , (5). Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника AFD , получаем: , (6). Используя выражения (5) и (6), будем иметь: , а это из прямоугольного треугольника AFD есть , следовательно, или

, а , что и требовалось доказать.

Способ IV. Метод тригонометрических функций.

4) Из прямоугольного треугольника АFC (рис.1) имеем: , откуда , (1). Из прямоугольного треугольника АFD имеем: , откуда , (2). Из прямоугольного треугольника АFB имеем: , откуда , (3). Используя выражения (1) и (2), с учётом, что CD=CF+FD , будем иметь: CD= +

, (4). Используя выражения (2) и (3), с учётом, что BD=BF-FD , будем иметь: BD= , (5). Приравняв выражения (4) и (5), с учётом, что СD=BD (медиана AD делит противоположную сторону треугольника пополам), получим: = , так как , тогда , (6). Решим это тригонометрическое уравнение: или , так как , тогда , или

, откуда и , что и требовалось доказать.

5) Из треугольника АВС по теореме косинусов (рис.1) имеем: , (1). Δ АВС будет прямоугольным, если , (2). Используя соотношения (1) и (2), получим: , отсюда , так как и , следовательно, , тогда

, что и требовалось доказать.

6) Из треугольника АВD (рис.1) по теореме синусов имеем: или , (1). Из треугольника АCD по теореме синусов имеем: или , так как СD=BD , следовательно, , (2). Приравняв выражения (1) и (2), получим: или , (3). Решим это тригонометрическое уравнение: , откуда или

или , так как , следовательно, , откуда , что и требовалось доказать.

7) Из треугольника АDС (рис.1) по теореме косинусов имеем: или с учётом, что и , получим: ; , (1). Из прямоугольного треугольника АFB , найдём

, (2). Используя выражения (1) и (2), будем иметь: или , отсюда , (3). Из треугольника АDB по теореме косинусов имеем: или ; , (4). Из прямоугольного треугольника АFC , найдём , (5). Используя выражения (4) и (5), будем иметь: или , отсюда , (6). Приравняв выражения (3) и (6), получим:

, отсюда или или , далее, с учётом, что , будем иметь: , , (7). ΔADC — равнобедренный, так как AD=CD , тогда углы при основании равны: или , что и требовалось доказать.

8) Из треугольника АВC (рис.1) по теореме синусов имеем: или

отсюда , (1). Из треугольника АDB по теореме синусов имеем: , (2). Учтём, что , тогда выражение (2) примет вид: или , тогда , (3). Приравняв выражения (1) и (3), получим: или , , учитывая, что , получим

, отсюда или , тогда или , что и требовалось доказать.

9) Из Интернета. Воспользуемся тем, что в любом треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой (это известный факт и легко доказывается). Итак, пусть один из этих четырёх углов равен х . Тогда один из углов данного треугольника равен , угол между биссектрисой и основанием тоже равен . Угол между медианой и основанием равен , третий угол треугольника равен . Если обозначить медиану треугольника через m , а половину основания через a , то по теореме синусов для треугольников, образованных медианой получим: и

. Отсюда , тогда , откуда . Тогда . При решении уравнения образуются ещё углы, но они все острые и нам не подходят.

Способ V. Применение теоремы об описанном четырёхугольнике.

10) Опишем окружность около треугольника АВС (рис.2). Проведём FK _┴ AC через точку M

Рис. 2

или и . Далее , то есть . , то есть . Итак, ΔАKС равнобедренный ( ) из-за равенства . В прямоугольном треугольнике AMK : . В ΔBMK найдём

: , то есть или . Следовательно, ΔBMK равнобедренный, то есть В ΔBKC : и , то есть , следовательно, ΔKBС равнобедренный ( ). По первому признаку равенства треугольников следует, что ΔBMK=ΔBMC ( BC = BK и BM

общая, ) и тогда BM = MC , то есть ΔBMC равнобедренный или , , или , что и требовалось доказать.

Способ VI. Подобие прямоугольных треугольников.

11) Из Интернета. Обозначим полученные углы через 𝛼 (рис.3). Итак, строим описанную окружность. Теперь продлеваем биссектрису и строим перпендикуляр к стороне AC в точке пересечения медианы. Прямоугольные треугольники BDN и MDN подобны, значит OMN = DBN =𝛼. Но тогда ΔBOM — равнобедренный и BO=OM , значит, O — центр описанной окружности около нашего треугольника и, причём точка O — середина стороны AC . Значит AC — гипотенуза и  B =90º.

Рис. 3

В представленной работе рассмотрены различные способы решения одной геометрической задачи и, анализируя все решения, приходим к следующим важным выводам:

1. Благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее берёшься за неё. Постепенно решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый опыт, что позволит развить математическое чутьё.
2. При такой работе над задачей формируется логическое мышление.
3. Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал.
4. Овладевая основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приёмы познавательной деятельности — наблюдение, сравнение, обобщение.

Все перечисленные факторы создают условия для формирования у учащихся навыков исследовательской деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала.

Литература:

1. Василевский А. Е. Методы решения математических задач. Минск, 1969.
2. Литвиненко В. Н. Практикум по решению задач школьной математики (Геометрия). Выпуск IV. — М: Просвещение, 1989.
3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва. «Наука». 1986.
4. Некрасов В. Б. Школьная математика. Санкт-Петербург. «Авалон». 2006.