Проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ»

Проектирование системы задач иупражнений по учебной дисциплине «Математический анализ»

Власов Дмитрий Анатольевич, кандидат педагогических наук, доцент;

Синчуков Александр Валерьевич, кандидат педагогических наук, доцент

Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова (г. Москва)

В центре внимания статьи — проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ» для математической подготовки бакалавров экономики. Представленные двадцать две типовые задачи охватывают все разделы математического анализа, в полной мере отражают многообразие математических и методических особенностей учебного материала. В рамках практической реализации технологического подхода удалось усилить направленность изучения математического анализа на усвоение основных понятий, теорем, алгоритмов, профессионально-значимых компетенций, связанных с ними.

Ключевые слова:система упражнений, типовая задача, бакалавр, педагогические проектирование, математическая подготовка, математический анализ

Учебная дисциплина «Математический анализ» традиционно играет значимую роль в системе математической подготовки бакалавра экономики [7] и бакалавра менеджмента [8]. Понятия и методы, формируемые у студентов в рамках учебной дисциплины «Математический анализ» характеризуются высоким уровнем востребованности, составляют инвариант математической подготовки, используются в последствии при изучении математических моделей экономической кибернетики [3], теориипринятия решений [2]. Под типовой задачей по математическому анализу мы понимаем задание специального вида, при решении которого методы деятельности (алгоритмы) могут быть применены к его разрешению без какого-либо изменения. Другими словами, это «элементарная» задача. Однако, как показывает педагогическая практика, даже такие «элементарные» задачи характеризуются высоким уровнем сложности. В данной статье мы представим 22 типовые задачи по учебной дисциплине «Математический анализ», ставшие неотъемлемой частью содержания прикладной математической подготовки бакалавров на факультете дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова.

Различные исследователи, среди которых Асланов Р. М., Бачурин В. А. [1], Гузеев В. В., Демидович Б. П. [10], Колягин Ю. М., Монахов В. М., Нижников А. И., Смирнов Е. И., Тестов В. А., Шипачев В. С. [12], Эрдниев П. М. рассматривали системы задач и упражнений по различным разделам математики с различных точек зрения, однако пришли по существу к одним результатам. Во-первых, система современных дидактических требований к системам задач и упражнений по математике реально может быть обеспечена сложным логико-методическим анализом и представлением результата достаточно большого объема (большое количество задач и упражнений) и сложной структуры (несколько уровней сложности, достаточное количество задач и упражнений). Во-вторых, системы упражнений по различным темам образовательной области «Математика», содержащиеся в традиционно используемых задачниках и сборниках упражнений, не характеризуются необходимым уровнем реализации дидактических характеристик.

Представленная далее система задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ» охватывает все основные понятия и вопросы, необходимые в дальнейшем для решения более сложных, квазипрофессиональных задач, представленных в статьях [4, 6], исследования современных экономических проблем и ситуаций, формирования качественных представлений о математических и инструментальных методах в экономике и управлении.

Типовая задача 1. Вычислить пределы последовательностей, не используя правило Лопиталя , . Типовая задача 2. Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя , . Типовая задача 3. Охарактеризовать точки разрыва функции .

Типовая задача 7. Вычислить предел функции , используя правило Лопиталя: . Типовая задача 8. Для приведенной функции вычислить частные производные первого порядка и , а также выписать полный дифференциал первого порядка в точке , . Типовая задача 9. Для функции найти: градиент функции в точке , величину градиента, производную по направлению в точке .

Типовая задача 10. Для функции определить все возможные частные производные второго порядка. Проверить выполнение равенства . Типовая задача 11. Найти интервалы монотонности функции . Определить локальные максимумы и минимумы указанной функции. Типовая задача 12. Опередить — наибольшее и — наименьшее значения функции на отрезке .

Типовая задача 13. Формула определяет зависимость величины управленческих расходов R от количества произведенной продукции . Указать, какое количество выпущенной продукции характеризуется минимальными управленческими расходами. Типовая задача 14. Определить направления выпуклости и точки перегиба графика функции: . Типовая задача 15. Выполнить полное исследование функции, компонентом которого является выявление всех видов асимптот и построить график заданной функции.

Типовая задача 16. Найти локальные безусловные экстремумы функции . Типовая задача 17. Найти экстремумы функции при условии, что . Типовая задача 18. Реализовать метод интегрирования по частям для интегралов: , .

Типовая задача 19. Используя метод внесения под знак дифференциала или реализуя необходимую замену, найти следующие неопределенные и определенные интегралы , , . Типовая задача 20. Найти следующие неопределенные интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби и под знаком квадратного арифметического корня: , . Типовая задача 21. Найти следующие неопределенные и определенные интегралы от тригонометрических функций: , . Типовая задача 22.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: и .

Следует отметить, что созданию целостной системы задач и упражнений (22 типовые задачи) предшествовало уточнение методических особенностей целеполагания при проектировании системы обучения прикладной математике [5], изучение перспективных возможностей новых технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной математики студентами бакалавриата [11]. Без достаточного внимания ко всем компонентам учебного процесса (в том числе и к системе задач и упражнений) невозможна реализация стратегии развития методической системы математической подготовки бакалавров [9], направленной на повышение качества, доступности и эффективности математического образования.

После проектирования системы задач и упражнений мы обратились к анализу её методической эффективности в условиях реализации технологического подхода и без использования технологического подхода. Мы пришли к необходимости формализации уровня сложности каждого типового задания и оценки его по шкале 0–9 («0» — самый низкий уровень сложности, «9» — максимально возможный уровень сложности). Для оценки параметра «Результативность» мы использовали шкалу 0–4 («0» — самая низкая результативность, «4» — максимально возможная результативность). Внедрение в учебный процесс специально спроектированной системызадач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ»позволил существенно изменить значения параметра «Результативность» по большинству учебных вопросов, о чем свидетельствует проведенный анализу её методической эффективности.

Литература:

1. Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа — М.: Физматлит. — 2005. — 712 с.
2. Власов Д. А. Методологические аспекты принятия решений // Молодой ученый. — 2016. — № 4. — С. 760–763.
3. Власов Д. А. Особенности и математические основы современной экономической кибернетики // Техника. Технологии. Инженерия. — 2016. — № 2. — С. 4–7.
4. Власов Д. А. Особенности реализации доходного подхода к оценке стоимости малого предприятия // Вопросы экономики и управления. — 2016. — № 3. — С. 78–81.
5. Власов Д. А. Особенности целеполагания при проектировании системы обучения прикладной математике // Философия образования. — 2008. — № 4. — С. 278–283.
6. Власов Д. А. Проектирование развития современной профессиональной компетентности будущего учителя математики (аспект экономической культуры): Дис. … канд. пед. наук. Москва, 2001.- 200 с.
7. Власов Д. А. Реализация метода дерева в моделировании процесса принятия решений // Вопросы экономики и управления. — 2016. — № 2. — С. 34–37.
8. Власов Д. А., Синчуков А. В. Прикладная математическая подготовка бакалавра менеджмента // Образование и воспитание. — 2016. — № 4. — С. 57–60.
9. Власов Д. А., Синчуков А. В. Принципы проектирования прикладной математической подготовки бакалавра экономики // Образование и воспитание. — 2016. — № 3. — С. 37–40.
10. Власов Д. А., Синчуков А. В. Стратегия развития методической системы математической подготовки бакалавров // Наука и школа. — 2012. — № 5. — С. 61–65.
11. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. — М.: АСТ. — 2010. — 495 с.
12. Качалова Г. А., Власов Д. А. Проблемы подготовки будущего учителя математики к реализации содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» // Российский научный журнал. — 2011. — № 21. — С. 86–91.
13. Качалова Г. А., Власов Д. А. Технологии Wolframalpha при изучении элементов прикладной математики студентами бакалавриата // Молодой ученый. — 2013. — № 6. — С. 683–691.
14. Шипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика. Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа. — 2009. — 350 с.