Вычислительный алгоритм для численного моделирования микрополярных упругих ортотропных стержней

Введение

Микрополярная (моментная) модель [1], предназначенная для описания напряженно-деформированного состояния композитов, гранулированных, порошкообразных сред, является основной моделью механики сплошных сред, учитывающей микроструктуру материала. Особую актуальность математические модели материалов со структурой получили в последнее время в связи с развитием микро- и нанотехнологий. В модели микрополярной среды кроме поступательного движения, которое характеризуется перемещением u, рассматриваются независимые повороты частиц , а наряду с тензором напряжений с компонентами , , , ,  вводится несимметричный тензор моментных напряжений с компонентами , .

Вопросы численной реализации моментной модели в изотропном случае рассматриваются в [2–4]. В настоящей работе приводится вычислительный алгоритм для численного моделирования микрополярных ортотропных упругих стержней.

Математическая модель

Уравнения плоской динамической задачи, описывающие поведение ортотропного упругого стержня высотой 2h и длиной a, имеют вид [5, 6]:

                           (1)

Здесь ρ – плотность среды; I – мера инерции среды при вращении; A₁₁, A₁₂, A₂₂, A₇₇, A₇₈, A₈₈, B₆₆, B₄₄  – феноменологические параметры упругости для ортотропной среды.

На основе гипотез, предложенных в работе [5], в предположении малости высоты стержня по сравнению с его длиной (2h<<a) и представлении перемещений и поворота в виде

с учетом обозначений

система уравнений (1) динамического изгиба микрополярных ортотропных упругих стержней с независимыми полями перемещений и вращений приводится к виду:

           

                                                                    (2)

          

Здесь     

Систему уравнений (2) можно записать в матричной форме

                                                                                                             (3)

относительно вектор-функции U, включающей в себя компоненты линейной и угловых скоростей частиц, а также компоненты тензоров напряжений:

Матрицы-коэффициенты системы A и B симметричны, матрица Q антисимметрична:

где     Ненулевые компоненты матриц  и :

   

    

При выполнении неравенств, гарантирующих неотрицательность упругой энергии:

        

матрица A положительно определена, и система уравнений (3) является гиперболической по Фридрихсу. Для такой системы выполняется закон сохранения энергии

из которого следует корректность постановки задачи Коши и краевых задач с диссипативными граничными условиями. Характеристические свойства системы описываются уравнением

корни которого, скорости волн, равны:

    

Полную систему левых собственных векторов образуют 6 векторов, соответствующих ненулевым собственным числам: , , , и один вектор для .

Начальные данные краевой задачи предполагают задание вектор-функции U при . Граничные условия могут быть сформулированы в терминах скоростей или напряжений:

 или ,    или ,    или .

Вычислительный алгоритм

Алгоритм численного решения задачи основан на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным и времени. Для системы уравнений общего вида (3) процедура расщепления состоит из трех этапов. На первом этапе решается одномерная задача в направлении x на интервале . На четвертом этапе к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений применяется схема Кранка-Николсон второго порядка точности с полным шагом по времени. Третий этап – повторный пересчет задачи в направлении x на интервале .

Процедура расщепления приводит к одномерным системам:

                                                                                                (4)

                                                             (5)

                                                  (6)

Искомое значение . Рассматриваемый метод двуциклического расщепления имеет второй порядок точности по пространственным переменным и времени, если на его этапах используются схемы второго порядка, и обеспечивает устойчивость численного решения при выполнении условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.

К каждой из одномерных задач (4), (6) применяется явная монотонная разностная схема Годунова типа "предиктор-корректор", устойчивая при выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви. На втором этапе метода расщепления в (5) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяется неявная разностная схема Кранка-Николсон [7]:

где m – номер шага по времени.

Численное решение представлено на рис. 1. На левой границе стержня действует Λ-образный импульс моментного напряжения L₁₃, начальные данные нулевые. Длительность импульса – 10 шагов по времени, размер сетки – 1000 ячеек, пройдено 1000 шагов по времени. Физические параметры для расчетов были выбраны согласно [5]: ρ = 1114 кг / м³, I = 5.31e-6 кг / м,A₀ = 5.2e6 Па,A₇₇ = 4.6e6 Па, A₈₈ = 4.8e6 Па,  A₇₈ = 0.4e6 Па, B₆₆ = 300 Н. Длина стержня a варьировалась: a = 0.1 м (рис. 1, слева), a = 0.2 м (рис. 1, справа), h = a / 40. Результаты расчетов показывают, что при фиксированном времени угловая скорость и моментное напряжение представляют собой осциллирующие функции.

Рис. 1. Линии уровня моментного напряжения L₁₃: a = 0.1 м (слева), a = 0.2 м (справа)

 

Для верификации работы численного алгоритма использовалось аналитическое решение задачи о распространении монохроматической волны в стержне, полученное в работах [5, 6].

Заключение

Динамическая модель микрополярных ортотропных упругих стержней с независимыми полями перемещений и вращений приведена к симметричной гиперболической по Фридрихсу форме, позволяющей эффективно применять вычислительные алгоритмы. Для численного решения разработан вычислительный алгоритм, основанный на методе двуциклического расщепления с применением схемы Годунова и Кранка-Николсон. Выполнены численные расчеты полей скоростей и напряжений в задаче о действии импульсной Λ-образной нагрузки.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14-01-00130).

 

Литература:

1.       Cosserat E., Cosserat F. Theorie de Corps Deformables // Chwolson's Traite Physique. 2nd ed. – Paris, 1909. – P. 953–1173.

2.       Варыгина М.П., Садовская О.В. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости // Вестник Красноярского госуниверситета, 2005. – Вып. 4. – С. 211–215.

3.       Варыгина М.П., Киреев И.В., Садовская О.В., Садовский В.М. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. акад. М.Ф. Решетнева, 2009. – Вып. 2 (23). – С. 104–108.

4.       Sadovskii V., Sadovaskaya O. and Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B, 2011. – V. 2, No. 2-3. – P. 215–230.

5.       Маргарян Л.М., Саркисян С.О. Математическое моделирование динамики микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких балок // Известия Национальных наук Армении, 2012. – Т. 65, №1. – С. 17–28.

6.       Маргарян Л.М. Построение прикладных моделей динамических состояний микрополярных упругих ортотропных стержней и их сравнительный анализ // Автореферат дисс. канд. физ.-мат. н., Ереван, 2012. – 36 с.

7.       Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608 с.