Математическое моделирование процесса работы ротационного культиватора

При большом разнообразии машин для рыхления почвы и уничтожения сорняков в рядах и междурядьях лесных полос все они имеют ряд недостатков, снижающих качество ухода. В частности, орудия уплотняют почву ниже глубины обработки, сдвигают и засыпают часть лесных культур почвой, оставляют холмики, в которых почва недостаточно разрыхлена (не уничтожаются многолетние сорняки) [1]. С целью устранения перечисленных недостатков разработана конструкция ротационного рабочего органа (рис. 1, а), выполненный в виде установленной на наклонной оси свободно вращающейся звездочки с радиально расположенными пальцами.

Рис. 1. Расположение системы координат по отношению к моделируемому механизму (а) и схема расположения рыхлящих элементов ротационного рабочего органа культиватора-рыхлителя (б)

В предложенном ротационном рабочем органе, для увеличения интенсивности рыхления почвы и улучшения самоочищения ротационных рабочих органов, на наклонной оси расположена коническая шестерня, входящая в зацепление с шестернями, установленными на внутренних концах радиальных пальцев (рис.1, б). На пальцах по винтовой линии расположены рыхлящие элементы, которые установлены с определенным смещением друг относительно друга [2].

Для теоретической проверки работоспособности разработанной конструкции и оптимизации параметров ротационного рабочего органа была разработана математическая модель, базирующаяся на методах классической динамики. Анализ механизма позволил составить систему дифференциальных уравнений, описывающую эволюцию механизма с течением времени под воздействием внешних воздействий: вращающего момента со стороны вала отбора мощности и сил сопротивления со стороны обрабатываемой почвы [3]. Система координат XYZ для описания механизма вводится так, чтобы поступательное движение осуществлялось вдоль оси OX (рис. 1, а), центр ротора находился на высоте h_Р над уровнем почвы (плоскостью XOY), а плоскость, в которой лежат пальцы ротора, была наклонена под углом α_Р к оси OY.

Ротационный рабочий орган представляется в модели состоящим из отдельных абсолютно твердых тел, взаимодействующих между собой в некоторых заданных точках. В модели необходимо учитывать движение следующих тел: ведущего вала, ведущей шестерни, корпуса рабочего органа, восьми (или другого количества) пальцев. Остановимся подробно на описании движения каждого из элементов механизма.

Вал механизма в рамках модели вращается с постоянной угловой скоростью:

ω_В = const.                                                                                                                      (1)

При этом угловое положение вала φВ в любой момент времени t можно рассчитать по формуле:

.                                                                                                                    (2)

Шестерня совершает вращательное движение относительно оси вала механизма, при этом с валом осуществляется вязкоупругое вращательное взаимодействие M_ВШ (рис. 2, а). Кроме того, на шестерню действуют момент сил сухого трения в подшипнике M_ШТр (который может зависеть от некомпенсированных сил со стороны пальцев) и моменты сил F_ШПi в точках соприкосновения с ведомыми шестернями на пальцах.    

В этом случае основное уравнение динамики вращательного движения записывается следующим образом:

,   (3)

где      J_Ш — момент инерции шестерни относительно оси; φ_В, φ_Ш и φ_К — текущие углы поворота вала, шестерни и корпуса; С_ВШ и D_ВШ — жесткость и коэффициент демпфирования вязкоупругого углового взаимодействия вала и шестерни; D_КШ — коэффициент вязкого трения между шестерней и корпусом; R_Ш — радиус шестерни (расстояние от оси до точки контакта ведущей и ведомой шестерен); F_ШПi — касательная составляющая силы, действующей со стороны ведомой шестерни i на ведущую.

Рис. 2. Расчетные схемы к составлению уравнений движения шестерни (а), корпуса (б) и пальца (в)

При этом считаем, что момент трения между корпусом и валом зависит линейно от разности скоростей вращения корпуса и вала, но не зависит от изгибающих сил, возникающих в подшипнике.

В рамках модели считается, что корпус ротационного рабочего органа совершает только вращательное движение относительно оси механизма. На его вращение оказывают влияние моменты M_Пi1 и M_Пi2 сил, возникающих в подшипниках закрепления пальцев (рис. 2, б). Также в основном уравнении динамики вращательного движения необходимо учесть момент сил вязкого трения между корпусом и валом:

,             (4)

где      J_К — момент инерции корпуса относительно оси; s_К — вектор направления оси корпуса;

 и  — радиус-векторы от центра корпуса до центров первого и второго подшипника крепления пальца i;

 и  — силы в первом и втором подшипниках крепления пальца i.

Каждый палец в процессе работы механизма совершает сложное движение — как вращательное, так и поступательное, и испытывает действие большого количества сил: в подшипниках закрепления, силы тяжести, сил со стороны разрыхляемой почвы (рис. 2, в). Уравнения движения пальца i записываются следующим образом:

            (5)

где      m_П — масса пальца; F_1ix, F_1iy, F_1iz — декартовы составляющие силы в первом подшипнике; F_2ix, F_2iy, F_2iz — декартовы составляющие силы во втором подшипнике; F_ШПix, F_ШПiy, F_ШПiz — декартовы составляющие силы взаимодействия с ведомой шестерней; F_Сix, F_Сiy, F_Сiz и M_Ci — декартовы составляющие силы и момент сопротивления со стороны почвы; m_Пg — сила тяжести.

При работе ротационного механизма каждый палец вращается как вокруг своей геометрической оси, так и вместе с корпусом вокруг оси вала. При этом получается, что в каждый момент времени t ось «мгновенного» вращения пальца не совпадает ни с геометрической осью пальца, ни с осью вала. Вследствие этого при расчете необходимо вычислять зависимость момента инерции пальца J_П от направления мгновенной оси вращения для любого t. Так как палец имеет сложную конструкцию (цилиндрический стержень, ведомая шестерня, рыхлящие элементы) аналитический расчет момента инерции затруднен, и расчет момента инерции ведется на основе метода конечных элементов. Объем пальца разбивается на большое количество N элементарных кубов с учетом сложной формы пальца, затем момент инерции рассчитывается по формуле

,                                                                                                          (6)

где      m_э — масса элементарного куба; r_j — расстояние от центра элементарного куба до оси вращения.

Каждый палец вращается в двух подшипниках, которые в свою очередь установлены в корпусе. Каждый подшипник в модели заменяется парой точек: одна точка на корпусе, другая на пальце. Обозначим точки на корпусе как K_1i и K_2i, а точки на i-пальце P_1i и P_2i. При смещении точки P_j относительно соответствующей точки K_j в подшипниках возникают силы, стремящиеся снова совместить точки P_j и K_j. Так как по природе это силы упругого взаимодействия стальных элементов подшипников, возникающие силы в модели учитываются следующим образом:

;

;                                                 (7)

,

где C_П и D_П — коэффициент упругости и коэффициент демпфирования; x_K1i, y_K1i, z_K1i — координаты точки K_1i; x_P1i, y_P1i, z_P1i — координаты точки P_1i.

Аналогичным образом вычисляются силы, возникающие в подшипнике 2 на i-м пальце.

При вращении корпуса координаты точек K_1i и K_2i постоянно изменяются. В модели координаты указанных точек, соответствующие текущему значению угла поворота корпуса φ_К рассчитываются следующим образом.

Во-первых, точки-подшипники распределяются равномерно по окружности корпуса:

; ; ;           (8)

; ; ,       (9)

где      i — индекс подшипника.

Во-вторых, необходимо учесть, что ротор установлен под углом α_Р к поверхности почвы. Для этого координаты пересчитываются следующим образом:

; ; ;                               (10)

; ; .                            (11)

И, наконец, производится перемещение рабочего органа в горизонтальном направлении на расстояние v_Рt и в вертикальном — на расстояние h_Р:

; ; ;                                              (12)

; ; .                                           (13)

Координаты точек P_1i и P_2i зависят от положения и угла поворота пальца и в процессе численного интегрирования подлежат постоянному пересчету.

Силы в точке взаимодействия ведущей и ведомой шестерни рассчитываются следующим образом. Угловая скорость ведомой шестерни пропорциональна разности угловых скоростей ведомой шестерни и корпуса:

,                                                                                             (14)

где      k_Ш — передаточное отношение.

При отсутствии контакта пальцев с почвой корпус механизма старается раскрутиться так, чтобы корпус начал вращаться с одинаковой скоростью с ведущей шестерней. В этом случае потери на трение в подшипниках пальцев минимальны. В случае же торможения пальцев почвой скорость вращения корпуса становится меньше скорости вращения ведущей шестерни, и за счет разности скоростей ω_Ш и ω_К раскручиваются пальцы.

В формуле для силы, возникающей в точке контакта ведущей и ведомой шестерен, необходимо учесть, что силы появляются вследствие несоответствия углов ведущей и ведомой шестерен:

,           (15)

где C_Ш и D_Ш — коэффициенты упругости и демпфирования углового упругого взаимодействия шестерен; φ_П — угол поворота пальца относительно его оси; ω_П — угловая скорость пальца, приведенная к его оси.

Так как возникающая сила F_ШПi перпендикулярна оси пальца и оси корпуса, направление силы вычисляется через векторное произведение направляющих векторов  и :

.                                                                                      (16)

Рассчитанная таким образом сила  подставляется далее в уравнения движения шестерни (3) и пальца (5).

При моделировании взаимодействия рабочих органов с почвой последняя считается вязкой средой [4]. В первом приближении силу со стороны почвы можно рассчитать, учитывая скорость движения конца пальца и степень его заглубления в почву.

,                                                                                        (17)

где       — скорость конца пальца; k_П — коэффициент линейной вязкости почвы; a_i — доля длины пальца, находящаяся в почве.

Подводя итог аналитическим выкладкам, отметим, что механизм в целом описывается системой дифференциальных уравнений (1–5), при этом переменные, входящие в систему, рассчитываются по формулам (6–17). Из-за громоздкости системы поиск ее аналитического решения затруднен, однако численное решение системы может быть найдено. Решение системы уравнений производили усовершенствованным методом Эйлера-Коши [5]. Шаг численного интегрирования Δt определяли путем многократного проведения экспериментов с последовательно уменьшающимся в два раза шагом и остановились на шаге, после которого результаты моделирования практически не изменяются (изменение составляет не более 1–2 %). Определенный таким образом шаг составил Δt = 2,0·10–4 с.

Для решения системы дифференциальных уравнений, положенной в основу модели, и удобства проведения различных компьютерных экспериментов с моделью составлена компьютерная программа «Программа для моделирования ротационного рабочего органа культиватора-рыхлителя» на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7.0 [6].

Программа позволяет задавать значения 20 основных конструктивных и технологических параметров культиватора [6].

Таким образом, разработана математическая модель ротационного рабочего органа на основе методов классической динамики, позволяющая на основе компьютерных экспериментов исследовать влияние на эффективность функционирования ротационного культиватора конструктивных параметров, параметров взаимодействия с почвой, технологических параметров. Модель позволила убедиться в работоспособности предложенной конструкции ротационного культиватора-рыхлителя и позволит в дальнейшем провести теоретическую оптимизацию его параметров.

Литература:

1.         Бартенев, И. М. Борьба с сорной растительностью в защитных лесных насаждениях [Текст] / И. М. Бартенев. — М.: Колос, 1991. — 47 с.

2.         А. с. 380256 СССР, МКИ A 01 В 35/16, A 01 В 39/16. Ротационный рабочий орган культиватора-рыхлителя [Текст] / И. М. Бартенев [и др.]; И. М. Бартенев, В. В. Попов, Ю. М. Жданов, В. Л. Аравийский; заявитель и патентообладатель: ВНИАЛМИ. — № 1702643; заявл. 04.10.1971; опубл. 15.05.73, Бюл. № 21. — 2 с.

3.         Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ [Текст] / Под ред. Е. Ю. Малиновского. — М.: Машиностроение, 1980. — 216 с.

4.         Моделирование сельскохозяйственных агрегатов и их систем управления: [учеб. для вузов] [Текст] / под ред. А. Б. Лурье. — Л.: Колос, 1979. — 312 с.

5.         Инженерные расчеты на ЭВМ: [Справочное пособие] [Текст] / Под ред. В. А. Троицкого. — Л.: Машиностроение, 1979. — 288 с.

6.         Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009613046 «Программа для моделирования ротационного рабочего органа культиватора-рыхлителя».