Математическая модель винтов для фиксации вертельных переломов бедренной кости | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 30.04.2015

Статья просмотрена: 26 раз

Библиографическое описание:

Артемова М. В., Морщинина Д. А. Математическая модель винтов для фиксации вертельных переломов бедренной кости // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/89/18151/ (дата обращения: 11.12.2018).

1. Введение. Одной из распространенных травм опорно-двигательного аппарата является перелом шейки бедра. В зависимости от его особенностей назначается консервативное (гипс) или оперативное лечение [1]. В последнем случае проводится остеосинтез при помощи различного вида фиксаторов. Довольно частым является применение трех спонгиозных винтов. Они представляют собой стержень (длиной 25-100 мм) с резьбовой частью (длиной 16-32 мм) диаметром 4,5-6,5 мм. Как правило, винты изготавливаются из титановых сплавов [1].

Математическая модель винтов построена на основе теории изгиба балок [2-4].

2. Анализ напряженно-деформированного состояния винта. Рассмотрим в декартовой системе координат  балку длиной  с круговым сечением диаметра , загруженную равномерно распределенной нагрузкой  (рис. 1).

Рис. 1.

 

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид [3]:

                                                                                                                   (1)

где  — прогиб;  — проекция изгибающего момента в точке  на ось ; - момент инерции площади поперечного сечения балки относительно его центральной оси, параллельной оси ;  — модуль Юнга.

Нормальное напряжение при изгибе выражается равенством [3]:

                                                                                                                         (2)

Максимальные напряжения определяются по формуле [4]:

                                                                                                                    (3)

где  — момент сопротивления сечения при изгибе.

Для кругового поперечного сечения

                                                                                                                       (4)

В данной работе проводится исследование напряженно-деформированного состояния балки, защемленной на одном конце под действием равномерно-распределенной нагрузки  и  (рис.2, рис.3).

2.jpg

Рис. 2

 

3.jpg

Рис. 3

 

Краевые условия имеют вид:

                                                                                     (5)

Интегрируя уравнение (1), получаем функцию прогиба в первом случае:

Принимая во внимание краевые условия (5), имеем

На основе формул (2) — (4) находим выражения для напряжения

                                                                                                 (6)

Рассмотрим теперь балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой на отрезке  (рис. 2). Этот случай особенно интересен, так как основная нагрузка приходится на головку бедра. Функции прогиба и напряжения могут быть найдены аналогичным способом, либо с помощью операционного метода [5]. Последний представлен ниже.

Дифференциальное уравнение изгиба балки в этом случае имеет вид:

,                                                                                                  (7)

где  — единичная функция или функция Хевисайда [6].                

Применяя к уравнению (7) преобразование Лапласа [5], получим:

где

Этому изображению соответствует оригинал

Учитывая краевые условия (5) и осуществляя необходимые преобразования, находим:

Напряжения, возникающие в сечении балки, будут определяться по формуле

Проведем сравнительный анализ решений рассмотренных задач (рис.2, рис.3). Для этого введем функции:  . Полагая в них , имеем

На рис. 4-6 представлены графики функций , , , .

Рис. 4

 

Рис. 5

 

sigm.jpg

Рис. 6

 

Анализируя полученные результаты, можно заметить, что максимальные значения прогиба балки достигаются на ее конце , на противоположном () возникают наибольшие напряжения, причем их величины во втором случае (рис.3) больше, чем в первом (рис.2). При  различия между графиками функций уменьшаются, а при увеличении длины (диаметра винта) наблюдается рост (убывание) их значений.

3. Определение геометрических параметров винта в зависимости от нагрузки. Согласно Х.А.Янсону [7], показатели нагрузки на тазобедренный сустав в различных случаях составляют:

1)      при опоре на обе ноги — 0,3P;

2)      при опоре на оперированную ногу — 2,4P;

3)      при передвижении в обычном темпе по ровной поверхности — 2P;

4)      при подъеме и спуске по наклонной поверхности — 2,5P;

5)      при быстрой ходьбе — 4,3P.

Здесь P — вес тела без опорной конечности.

Система бедро+голень+стопы составляет примерно 36 % массы человека [8].

Определим диаметр винта , применяемого при фиксации вертельного перелома бедренной кости, исходя из характеристик материала. Наиболее предпочтительным для изготовления фиксаторов является титановый сплав  [1].

В соответствии с формулой (6) для максимальных напряжений получаем:

,

На рис.7 приведены графики зависимости диаметра винта  от его длины  в случаях 1-5:

Рис. 7

 

На основе полученных результатов следует отметить, что при фиксации вертельного перелома бедренной кости необходимо учитывать индивидуальные особенности пациента (различные типы нагрузки). При высокой активности или большой массе рекомендуется использовать винт большего диаметра.

 

Литература:

 

1.      Анкин Л.Н., Анкин Н.Л. Травматология. Европейские стандарты. М.: Медэкспресс-информ, 2005. 496 с.

2.      Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Л.:Судпрогиз, Том 1, 1962. 576 с.

3.      Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем (строительная механика корабля). М.: Машгиз, 1953. 517 с.

4.      Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 1965. 856с.

5.      Даль Ю.М. О решении некоторых дифференциальных уравнений механики операционным методом // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, 2013, Вып. 4, С. 3–9

6.      Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.:Наука, 1965. 737 с.

7.      Янсон Х.А., Биомеханика нижней конечности человека. Рига: Зинатне, 1975. 324 с.

8.      Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика: учебник для средних и высших учебных заведений. М.:ВЛАДОС-ПРЕСС, 2003. 672 с.

Основные термины (генерируются автоматически): бедренная кость, вертельный перелом, график функций, диаметр винта, напряжение, распределенная нагрузка, функция прогиба.


Похожие статьи

Эндопротезирование в практике лечения медиальных переломов...

Медиальные переломы шейки бедренной кости (МПШБК) из-за своих особенностей тяжёлого течения и

Среди больных после примененного полного замещения тазобедренного сустава боли только при выраженных физических нагрузках отмечали 43,2 % пациентов.

Модифицированная кокситная повязка при лечении диафизарных...

Статья посвящена результатам консервативного лечения диафизарных переломов бедренной кости у детей раннего возраста с помощью видоизмененной тазобедренной гипсовой повязки.

Изменение топографической анатомии голени вследствие разных...

Частота переломов костей голени составляет от 16-ти до 22-х случаев на 100000 чел (11 % от всех видов переломов) в год.

Точки фиксации множества мышц расположены на данных костях, их повреждение может привести к нарушению функции голеностопного и коленного...

Патогенетические обоснования лечения дифизарных переломов...

Перелом бедра следует рассматривать не в качестве патологии лишь отдельной кости, а как патологию области бедра, которая

Длину и ширину рамы бедра подбирают индивидуально по длине бедренного сегмента здоровой конечности и диаметру травмированного бедра.

Лечение чрезмыщельковых переломов плечевой кости...

Нарушение функции любого из составляющих локтевой сустав сочленений ведет к ограничению функции смежных сегментов, прежде всего ограничивает возможности такого сегмента, как

Эндопротезирование в практике лечения медиальных переломов шейки бедренной кости.

Прогнозирование исходов лечения диафизарных переломов...

Нагрузка вдоль оси поврежденной конечности вызывает резкое усиление боли в области перелома.

Модифицированная кокситная повязка при лечении диафизарных переломов бедренной кости у детей раннего возраста.

Решение задач строительной механики по определению...

...функции по решениям, полученным с помощью МКЭ для задач поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и

Доказано, что эти аппроксимирующие функции ограничивают область распределения всего множества значений максимального прогиба и...

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

Напряжения и смещение можно выразить через аналитическую функцию [16].

На рис. 3–4 представлены графики зависимости предельной нагрузки от длины трещины.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Эндопротезирование в практике лечения медиальных переломов...

Медиальные переломы шейки бедренной кости (МПШБК) из-за своих особенностей тяжёлого течения и

Среди больных после примененного полного замещения тазобедренного сустава боли только при выраженных физических нагрузках отмечали 43,2 % пациентов.

Модифицированная кокситная повязка при лечении диафизарных...

Статья посвящена результатам консервативного лечения диафизарных переломов бедренной кости у детей раннего возраста с помощью видоизмененной тазобедренной гипсовой повязки.

Изменение топографической анатомии голени вследствие разных...

Частота переломов костей голени составляет от 16-ти до 22-х случаев на 100000 чел (11 % от всех видов переломов) в год.

Точки фиксации множества мышц расположены на данных костях, их повреждение может привести к нарушению функции голеностопного и коленного...

Патогенетические обоснования лечения дифизарных переломов...

Перелом бедра следует рассматривать не в качестве патологии лишь отдельной кости, а как патологию области бедра, которая

Длину и ширину рамы бедра подбирают индивидуально по длине бедренного сегмента здоровой конечности и диаметру травмированного бедра.

Лечение чрезмыщельковых переломов плечевой кости...

Нарушение функции любого из составляющих локтевой сустав сочленений ведет к ограничению функции смежных сегментов, прежде всего ограничивает возможности такого сегмента, как

Эндопротезирование в практике лечения медиальных переломов шейки бедренной кости.

Прогнозирование исходов лечения диафизарных переломов...

Нагрузка вдоль оси поврежденной конечности вызывает резкое усиление боли в области перелома.

Модифицированная кокситная повязка при лечении диафизарных переломов бедренной кости у детей раннего возраста.

Решение задач строительной механики по определению...

...функции по решениям, полученным с помощью МКЭ для задач поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и

Доказано, что эти аппроксимирующие функции ограничивают область распределения всего множества значений максимального прогиба и...

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

Напряжения и смещение можно выразить через аналитическую функцию [16].

На рис. 3–4 представлены графики зависимости предельной нагрузки от длины трещины.

Задать вопрос