Пространственные векторы в асинхронном двигателе

Емельянов Александр Александрович; Козлов Алексей Максимович; Бесклеткин Виктор Викторович; Авдеев Александр Сергеевич; Чернов Михаил Владимирович; Габзалилов Эльвир Фиргатович; Фуртиков Кирилл Алексеевич; Реутов Александр Янович

Целью данной работы является вывод математического аппарата, описывающего процессы в асинхронном двигателе, в доступной для понимания студентами форме. Открытия сделанные учеными в 1940–50 г.г. при исследовании асинхронных двигателей оказывают потрясающие воздействия. В данной работе сделана попытка реконструкции хода исследовательской мысли ученых и передачи студентам специфической красоты в движениях математических формул. Пройти школу на материалах такого наследия является важнейшим условием формирования будущих исследователей.

Вначале, на примере мгновенных трехфазных напряжений в косинусоидальной форме сдвинутых во времени на 120° с помощью формулы Эйлера (1707…1783 г.г.) преобразовываются в виде степенных функций. Переход к степенным функциям позволяет производить замену произведений множества тригонометрических формул в простые алгебраические суммы выражений находящихся в степени. Далее, используя известную формулу суммы от произведения мгновенных значений напряжений по фазам на соответствующие единичные векторы переходим к пространственному вектору напряжения статора вращающемуся с циклической частотой питающего напряжения (в данной работе рассматривается двухполюсный двигатель). Аналогично производится переход к пространственным токам статорных и роторных величин, причем фазовые сдвиги токов естественно отразятся в пространственном расположении векторов. В потокосцеплениях фаз статора и ротора показаны взаимосвязи от угла поворота магнитных осей. Перед взглядом студентов предстает множество уравнений с переменными коэффициентами. При переходе к пространственным векторам происходит существенное сокращение числа уравнений. Производные от угла поворота магнитных осей дают скорость вращения ротора.

1. Преобразование мгновенных значений напряжений в степенные функции

Мгновенные значения трехфазных напряжений описываются следующими зависимостями:

(1)

где - циклическая частота напряжения, рад/c.

На рис.1 показана связь мгновенных значений напряжений с векторами во временной системе координат, как их проекции на действительную ось . Работа в векторной форме существенно ускоряет процесс исследования, причем в любой момент времени легко перейти к косинусоидальной форме мгновенных значений. Выполнить, например, произведение множества косинусоид (синусоид) представляет довольно трудоемкую задачу, а в векторной форме произвести перемножение значительно легче.

Рис. 1. Связь мгновенных значений напряжений с векторами соответствующими во временной системе координат

Не меньшую роль в ускорении процессов математических преобразований играет представление с помощью формулы Эйлера мгновенных значений в степенные функции.

Выразим систему уравнений через степенные функции:

Итак, система уравнений в степенной форме имеет следующий вид:

(2)

2. Переход от мгновенных значений напряжений к пространственному вектору

Пространственный вектор напряжения определяется по следующей зависимости:

где - единичные пространственные векторы.

(4)

Подставив в уравнение мгновенные значения напряжений в степенной форме и единичные пространственные векторы получим:

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис.2 (в электронном варианте все векторы и их проекции даны в цветном варианте).

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось , далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производиться геометрическая сумма , и наконец, умножив полученный вектор на множитель получим искомый вектор .

Рис. 2. Геометрический смысл построения пространственного вектора по составляющим и

.

3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 3.

Рис.3. Обобщённая асинхронная машина

R_s, l_s, l_ms — параметры статорной обмотки,

R_r, l_r, l_mr — параметры роторной обмотки,

|l_msr|=|l_mrs|=|l_m|–коэффициенты взаимоиндуктивности при совпадении магнитных осей статора и ротора .

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов.

Умножив обе части уравненияна единичный пространственный вектор , уравнения и — соответственно на и . Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:

5. Вектор потокосцепления статора АД

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,

где — мгновенные значения потокосцеплений статора;

, , — единичные пространственные векторы.

Уравнения ÷ представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе — на , и последнее уравнение — на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой .

Переведем мгновенные значения токов статора и ротора с фазными переменными в степенные функции:

Аналогично, представим и в степенной форме:

Или иначе, в удобной для запоминания форме:

Для первого столбца уравнение определим пространственный вектор :

Потокосцепление можно выразить в следующей форме:

Для второго столбца:

Наконец, для третьего столбца:

,

где

Обозначим; ;; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора [1]:

6. Вектор потокосцепления ротора АД

,

Уравнения (14) ÷ (16) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе — на , третье — на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (22).

Пространственный вектор для первого столбца :

Пространственный вектор для второго столбца системы уравнений (23):

Пространственный вектор для третьего столбца (23):

,

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

(24)

7. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (25) векторы , , записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к другим системам координат. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например, из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.4.

$Описание: C:\Users\Кирилл\Desktop\1.png$

Рис.4. Система координат S.R.K.

– неподвижная система координат статора (); — система координат, связанная с ротором,

- угол сдвига системы координат R по отношению к S, причем .

— произвольная система координат, — угол сдвига к неподвижной системе()

— пространственный вектор напряжения статора.

и — этот же пространственный вектор напряжения статора в системах координат ротора и соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (25) — (28) примет следующий вид:

, (29)

где , , — записаны в не подвижной системе координат статора .

(30)

где , , — пространственные векторы роторных величин в роторной системе координат R.

, (31)

где , , — векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а — в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

(32)

где , , — векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а — в неподвижной системе координат .

7.1 Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :