Рассмотрим такую категорию задач в обучении математике, как нереальные (или противоречивые). Такие задачи обычно относят к отдельному типу и как правило редко встречаются в школьных учебниках.
Рассмотрим следующую задачу:
Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза равна 10 см. Найти произведение синусов острых углов треугольника.
Предположим следующее решение: пусть катеты равны a и b, а гипотенуза с. Тогда по условию a + b = 16 (1), c=10.
Кроме того, т. к. треугольник прямоугольный, то a²+ b²= c².
sinA= a/c; sinB = b/c.
Нужно найти sinAsinB= ab/c², возведем (1) в квадрат:
a² + 2ab + b² = 256
100+2ab = 256; ab=78
sinAsinB= 0.78
Однако прямоугольного треугольника с a + b=16 и c=10 не существует, т. к. из решения ab=78, а a + b=16. Нет действительных чисел удовлетворяющих этой системе.
Задача противоречива: сложное высказывание, с помощью которого задана в этой задаче геометрическая фигура, ложно, а поэтому эта фигура не существует. Полученный ответ не имеет смысла.
Для таких задач характерным является то, что они могут иметь достаточно красивое решение, как это было с приведённой выше задачей, но только это решение будет противоречить здравому смыслу.
При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы. Вот почему решение задач данного вида необходимо использовать на уроках математики.
Примеры таких задач:
1. Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше — Андрей или Иван?
2. Пароход весь путь от А до Б (по течению) и обратно (против течения) шел с максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была различной: от А до Б он шел со скоростью 20 км в час, а обратно со скоростью 30 км в час. Какова его средняя скорость за весь путь?
3. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известна его гипотенуза с = 6 см и площадь S = 10 кв.см. (не выполняется условие с² ³ 4S, по данным задачи 6² < 4* 10)
4. Рабочий кружок, состоящий из 20 человек (взрослые и подростки), устроил сбор на покупку книг для библиотеки, причем каждый взрослый внес по 3 рубля, а каждый подросток по 1 рублю. Сколько было в кружке взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил 35 рублей?
Проанализируем эту задачу: пусть х- количество взрослых, 20 — х — количество подростков. Тогда 3х- сбор взрослых; 1(20-х)- сбор подростков.
3х + (20 — х) = 35
х = 7.5 — не удовлетворяет смыслу задачи, т. к. число должно быть целым.
Условие задачи противоречиво, т. к. если общее количество членов кружка равно 20, то число взрослых и число подростков либо оба четны, либо оба нечетны. Взносы их 3 и 1 — оба нечетны, значит общий сбор в любом случае должен быть четным, а он составляет 35 рублей.
8. Вписать в окружность трапецию, углы которой находятся в следующем отношении 3:2:4:3.
Рассмотрим методику работы с нереальными задачами на примере последней.
I. Осмысление условия.
В: Что нам дано?
О: Окружность и какая-то трапеция.
В: Что нам известно о этой трапеции?
О: Ее углы находятся в соотношении 3:2:4:3.
В: Можем ли мы сделать какие-нибудь выводы из соотношения углов трапеции?
О: Да.
В: Что можно сказать о трапеции?
О: Она равнобедренная.
В: Что является решением задачи?
О: Вписанная в окружность трапеция.
Запишем условие:
Дано: (О,г), ABCD- трапеция,
3:2:4:3 — отношение углов трапеции.
Вписать трапецию в окружность.
II. Поиск пути решения.
В: Что можем найти?
О: Углы трапеции.
В: Откуда мы их найдем?
О: Из соотношения 3:2:4:3.
В: Что удобнее обозначить за х?
О: один из углов, т. к. она равнобедренная, то лучше два равных угла обозначить за х?
В: Чему равны другие углы?
О: х, 2/3х, 4/3х, х.
В: Какое уравнение можно составить?
О: Зная сумму углов четырехугольника будет:
х + 2/3х + 4/3х + х = 360º
II. Реализация плана решения.
Составим уравнение: х + 2/3х + 4/3х + х = 360º
Находим х= 90º, Ð1=Ð4=90º
Ð2= 60º, Ð3= 120º
Построим эту трапецию.
В: Попробуйте вписать ее в окружность?
О: Не получается.
В: Любую ли трапецию можно вписать в окружность?
О: Нет.
В: Какому условию должна удовлетворять трапеция, чтобы ее можно было вписать в окружность?
О: Сумма пар противоположных углов равна 180º.
В: Выполняется ли это условие в нашей задаче?
О: Нет, 90º + 120º ¹ 180° и 60°+ 90°¹180°.
В: Можем ли мы решить эту задачу?
О: Нет.
В: В чем заключается противоречие условия?
О: Отношение углов не соответствует требованию задачи.
Итак, мы выяснили, что данный тип задач несёт в себе определённую развивающую функцию. Они требуют умения анализировать условие и строить выводы о целесообразности решения самой задачи. Заставляют делать проверку решения, сталкиваясь с противоречивой ситуацией, более внимательно изучать данные задачи. Поэтому они так важны в обучении для успешного формирования у школьников умений анализировать и правильно решать поставленные математические задачи, а в дальнейшем и задач иного вида деятельности.
Литература:
1. Акимова И. В., Буркина В. А., Титова Е. И. Моделирование задач с аномальным условием и методика пути поиска их решения// Современные проблемы науки и образования. 2014. № 1
2. Буркина В. А., Титова Е. И. Методика работы с аномальными задачами// Молодой ученый. 2014. № 2 (61). С. 740–741.
3. Жидкова А. Е., Титова Е. И. Изучение школьной математики как пропедевтический курс ее обучения в техническом вузе// Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 283.
4. Титова Е. И., Чапрасова А. В. Различные трактовки понятия «задача» и методика их решения// Молодой ученый. 2014. № 6 (65). С. 760–762.
5. Титова Е. И., Романкова А. А. Неопределенные задачи в школьном курсе математики// Вестник магистратуры. 2014. № 6–1 (33). С. 128–129.
