Определение постоянной времени измерительной цепи является основной метрологической задачей при измерении электрической емкости на постоянном токе. Установлено, что наиболее перспективным направлением повышения точности систем обработки измерительных сигналов емкостных датчиков является использование мгновенных значений напряжений во время развивающегося переходного процесса. Нами предложено два новых алгоритма оценки постоянной времени,основанные на аппроксимации производных с использованием конечных разностей в алгоритмах численного дифференцирования. Предлагаемые алгоритмы позволили снизить погрешность измерения электрической емкости до 0,055 %.
Ключевые слова: постоянная времени, численные методы, точность, область работоспособности.
Методы численного дифференцирования широко используются в системах обработки измерительных сигналов [1, с.62–63]. Одним из наиболее перспективных направлений использования методов численного дифференцирования является обработка измерительных сигналов емкостных преобразователей на постоянном токе. В системах обработки измерительных сигналов на постоянном токе задача преобразования емкости решается путем организации переходного процесса (ПП) в измерительной RC-цепи при подключении ее к источнику постоянного напряжения с нулевыми начальными условиями [2, с. 67, 3, с. 69]. Напряжение uСх(t) на конденсаторе будет изменяться по закону апериодического заряда конденсатора, из которого видно, что именно постоянная времени является определяющим информативным параметром регистрируемого сигнала, от точности определения которого во многом зависит точность определения емкости.
В работах [1, с.62–63, 2, с. 67] приведены исследования методов определения постоянной времени измерительной цепи, как основного параметра при измерении электрической емкости на постоянном токе. В настоящей работе приведены исследования двух новых алгоритмов оценки постоянной времени, основанные на аппроксимации производных с использованием конечных разностей в алгоритмах численного дифференцирования [2, с. 67, 4, с.1].
В работах [2, с. 67, 5, с. 29] приводится оценка первой производной при дифференцировании интерполяционного полинома Ньютона:
(1)
(2)
где 
значение дифференцируемой функции в равноотстоящие друг от друга моменты времени t1, t2, t3 соответственно;
∆t — шаг дифференцирования, который равен:
. (3)
Используя оценку первой производной (2) применительно ко второму методу определения постоянной времени:
, (4)
предложен новый дискретный измерительный алгоритм оценки 
:
(5)
где Е0 — ЭДС источника напряжения;
— оценка постоянной времени ИЦ;
, 
, 
— значения отсчетов функции напряжения в момент времени t1, t2, t3 соответственно во время переходного процесса.
Третий метод определения постоянной времени измерительной цепи:
, (6)
аппроксимируется конечными разностями первого и второго порядка следующим образом.
Вторая производная для среднего из трех отсчетов представляется конечной разностью «левой» и «правой» разностей отсчетов на соседних интервалах [2, с. 67, 5, с. 29]:
, (7)
Первая производная для среднего из трех отсчетов может быть представлена как конечная разность крайних отсчетов, деленная на двойной шаг дифференцирования:
, (8)
или как среднее значение конечных разностей «левой» и «правой» частей интервалов измерения:
. (9)
В итоге предложен новый измерительный алгоритм для оценки постоянной времени, используя (7) и (9) применительно к (6):
(10)
Таким образом, в настоящей работе, при построении математической модели системы обработки измерительного сигнала проведено исследование следующих измерительных алгоритмов оценки постоянной времени измерительной цепи (5) и (10):
1. 
— (метод Ньютона трехточечный)
2. — (метод производных трехточечный).
Алгоритмы под номерами 1 (5) и 2 (10) являются трехточечными и преимущественно используются для определения асимптоты измеряемой величины при переходном процессе [1, с. 64, 6, с. 56].
Исследуемые алгоритмы могут быть использованы в системах измерения уровня высоколиквидных жидкостей на основе емкостных преобразователей [6, с. 56–57, 7, с. 1, 8, с.1, 9, с. 1].
Используя (5) и (10) проведено исследование следующих математических моделей систем обработки измерительных сигналов емкостных преобразователей по мгновенным значениям переходного процесса:
— 1-я математическая модель (11)
— 2-ая математическая модель (12)
Для наших исследований особый интерес представляет выбор и обоснование выбора оптимальной математической модели системы обработки измерительного сигнала для различных диапазонов измеряемой величины (электрической емкости). Основным критерием выбора мы считаем минимальную относительную погрешность измерения.
Закон изменения переходного процесса при моделировании выбран в виде:
, (13)
при Е0=1, τ0 = 1.
Продолжительность моделирования t=3τ.
Относительная погрешность оценки
определялась по выражению:
. (14)
Шаг дискретизации непрерывной функции (13) 
выбирался 
0,0001; 0,001;0,01, в зависимости от цели моделирования: оценки работоспособности модели на начальной стадии переходного процесса (ti/τ0 ≤ 0,01); оценки относительной погрешности оценки в диапазоне 0 ≤ ti/τ0 ≤1; оценки работоспособности моделей при ti/τ0˃˃1.
Здесь соотношение ti/τ0 — относительное время (время взятия первого отсчета).
Для моделей (11) и (12) время между соседними отсчетами ∆tсо определяется как:
∆tсо=∙М, (15)
где М — параметр модели (М = 1; 10; 25; 50; 100 — выбирается по усмотрению исследователя).
Варьируемыми параметрами при моделировании системы обработки измерительного сигнала являются: относительный шаг дискретизации /τ; кратность интервала обработки М; относительное время взятия первого отсчета ti/τ.
В таблице 1 приведена относительная погрешность оценки по результатам моделирования системы обработки измерительных сигналов по двум математическим моделям (11) и (12).
Сравнение результатов математического моделирования позволяют сделать вывод о явном преимуществе 1-ой модели (1), а именно:
- точность первой модели на 3 порядка выше точности модели (12);
- для всех исследуемых моделей оптимальным динамическим диапазоном проведения отсчетов параметров развивающегося ПП является период времени (0,1÷1,0)τ, как имеющей минимальную погрешность оценки контролируемого информативного параметра — 
;
- относительный момент взятия первого отсчета на начальном интервале обработки должен быть не менее 0,4τ;
- интервал обработки 2∆tсо/τ для должен быть не менее 0,2–0,3 и с учетом момента времени первого отсчета укладываться в оптимальный диапазон измерения. Поэтому: М=(0,2÷0,3)t/∆tдиск.
Таблица 1
Сравнение математических моделей системы обработки измерительных сигналов
|
Относительная погрешность за 1000 наблюдений, % |
|||||
|
q/Е0 |
Параметр алгоритма М-кратность интервала обработки |
||||
|
1 |
10 |
25 |
50 |
100 |
|
|
1-ая модель (по Ньютону) |
|||||
|
1·10–6 |
1,59∙10–2 |
4,23∙10–3 |
2,12∙10–2 |
8,13∙10–2 |
0,31 |
|
1·10–5 |
1,734725 |
2,23·10–2 |
3,20·10–2 |
8,86·10–2 |
0,31 |
|
1·10–4 |
|
1,75 |
0,34 |
0,21 |
0,39 |
|
2-ая модель (по производным) |
|||||
|
1·10–6 |
|
1,84 |
4,24·10–2 |
0,02 |
0,08 |
|
1·10–5 |
|
|
4,70 |
0,28 |
0,09 |
|
1·10–4 |
|
|
|
|
1,91 |
— работа системы неустойчива и погрешность не предсказуема
По быстродействию все исследуемые математические модели равнозначны.
Исследуемые алгоритмы измерения постоянной времени реализованы в работе вторичных измерительно-вычислительных устройств емкостных преобразователей [9, с. 182, 10, с. 181, 11, с. 11].
Литература:
1. Воротников И. Н., Мастепаненко М. А. Способы измерения электрической емкости по параметрам переходного процесса // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2013. № 10. С. 60–65.
2. Воротников И. Н., Мастепаненко М. А. Исследование методов измерения электрической емкости на постоянном токе // Методы и средства повышения эффективности технологических процессов АПК: сб. науч. ст. по материалам Междунар. науч.-практ. конф. Ставрополь: АГРУС Ставропольского гос. аграрного ун-та. 2013. С. 66–68.
3. Минаев И. Г., Воротников И. Н., Мастепаненко М. А. Способ измерения уровня жидкостей // Достижения науки и техники АПК. 2010. № 9. С. 68–70.
4. Пат. 2407993 Российская Федерация, МПК 8 G01F23/24. Емкостной способ измерения уровня жидкостей и устройство для его осуществления / И. Г. Минаев, М. А. Мастепаненко; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет. № 2009141472/28; заявл. 09.11.2009; опубл. 27.12.2010, Бюл. № 36. 2 с.
5. Шаталов А. Ф., Хащенко А. А., Воротников И. Н. Влияние геометрии электродов на теплообмен при электроконвекции // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2013. № 1(170). С. 28–32.
6. Минаев И. Г., Воротников И. Н., Мастепаненко М. А. Универсальный способ контроля уровня различных жидкостей и аппаратный комплекс для его реализации // Вестник АПК Ставрополья. 2012. № 5. С. 55–58.
7. Пат. 147261 Российская Федерация, МПК 8 G01F23/24. Емкостной измеритель уровня жидкости / Мастепаненко М. А., Воротников И. Н. и др.; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет. № 2014119647; заявл. 15.05.2014; опубл. 27.10.2014, Бюл. № 30. –2 с.
8. Пат. 78929 Российская Федерация, МПК 8 G01F23/24. Емкостной двухэлектродный датчик уровня жидкости / И. Г. Минаев, Д. Г. Ушкур, М. А. Мастепаненко; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет. № 2008131178/22; заявл. 28.07.2008; опубл. 10. 12. 2008, Бюл. № 34. 1 с.
9. Пат. 85641 Российская Федерация, МПК 8 G01F23/24. Емкостной измеритель уровня жидкости / И. Г. Минаев, Д. Г. Ушкур, М. А. Мастепаненко, В. В. Самойленко; заявитель и патентообладатель ООО НПО Электроимпульс. № 2009105632/22; заявл. 19.02.2009; опубл. 19.02. 2009, Бюл. № 22. 1 с.
10. Минаев И. Г., Воротников И. Н., Мастепаненко М. А. Система непрерывного контроля уровня различных жидкостей на основе микроконтроллера // Методы и технические средства повышения эффективности использования электрооборудования в промышленности и сельском хозяйстве: сб. науч. тр. / СтГАУ. Ставрополь: АГРУС, 2011. C. 181–185.
11. Воротников И. Н., Мастепаненко М. А., Ивашина А. В. Вторичное измерительно-вычислительное устройство конденсаторного датчика уровня // Методы и технические средства повышения эффективности использования электрооборудования в промышленности и сельском хозяйстве: сборник научных трудов по материалам 76-й научно-практической конференции СтГАУ (г. Ставрополь, 10–25 марта 2012 г.) / Ставропольский государственный аграрный университет. Ставрополь: АГРУС, 2012. С. 9–13.
