Библиографическое описание:

Алишев А. Г., Якубова Н. М., Ганиева Д. А. Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Молодой ученый. — 2015. — №5. — С. 1-6.

В данной работе исследуются системы нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядка вида

,                                                                                    (1)

где х, f-n-мерные векторы, – действительная квадратная матрица порядка -малый параметр,  — натуральные числа и такие что  -медленные время,  фиксированное число.

Известна, что структура формальных, в смысле [1] частных решений системы (1) тесно связано о поведением корней так называемого характеристического уравнения

,                                                                                                  (2)

-единичная матрица порядка .

В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня характеристического уравнения (2), т. е. так называемый критический случай [2]. Этот случай, а также случай, от отличных от нуля корней уравнения (2) для системы нелинейных дифференциальных уравнения высокого порядка в литературе не рассматривалась.

По этому несомненно представляет определенный интерес исследование системы вида (1). В дальнейшем будем считать, что выполняютcя условия:

1)   матрица  допускают разложения:

2)   матрицы при , а вектор  в область , где  некоторая область пространства переменных , неограниченно дифференцируемых;

3)   при , , ,                                                             (4)

4)   , , где , , .

Для удобства в системе (1) введем замену .

Тогда системы (1) запушатся в виде

                                                                             (5)

Теорема 1. Если выполняются условия 1–4, то система дифференциальных уравнений (5) имеет формальные частные решение вида

Доказательство. В зависимости между числом p и q рассмотрим две случае 1) p>q; 2) p<q. Доказательство теорема приведём для случая p>q, а для случая p<q теоремы доказывается аналогично. Поставляя (6) в системы (5) и учитывая разложения вектор  в ряд Тейлора в окрестности точки  получим

                                                                                                              (7)

где элементы матрицы  и координаты вектор  вычисляются в точке  выражаются определенным образом через  (i=1,2,3, …, s–1).

Если в тождестве (7) приравняем коэффициенты при одинаковых степеням , то получим следующую систему уравнений для определения неизвестных :

где  при  вектор  при  вектор  селей час число .

Из системы (8) находим

                                                                                      (11)

где  — произвольные, отличные от нуля  неизвестные функции, определявшееся наследующем шаге, -собственные вектор матрицы  соответствующие нулевому собственному значения.

Уравнение (9) с учетом (11) при r=0 имеет вид

.                                                                                (12)

Для решения уравнения (12) необходимой достаточно, чтобы выполняли условия разрешимости

или

                                                                                  (13)

где,  элемент ноль-пространства сопряженной матрицы .

Уравнения (13) запишем следующим виде

                                                                                                            (14)

Таким образом получаем относительно неизвестных функций  неявный уравнений. Предположим, что для уравнений (14) выполняются все условия теоремы о неявной функций [2] и определим . Условия (13) для уравнения (12) выполняются то находим

                                                                          (15)

где  — неизвестная функция, определяющаяся на следующем шаге,  — обобщенно-обратная матрица к матрицы  имеет вид

.

 — знак тензорный произведение.

С учетом (12) при р=1 из уравнения (10) когда  получаем

.                                                             (16)

Условия разрешимость для уравнения (16) имеет вид

                                                                            (17)

Согласно условия теоремы 1

тогда из (17) определим

                                                                                                                      (18)

Учитывая выполнение условия (17) из уравнения (16) находим

                                                                                                    (19)

где  — неизвестная функция определяются следующим шаге.

Продолжая процесс определений неизвестный коэффициенты ряда (6) уравнения (10) запишем

, s=q+1, q+2,… (20)

Условия разрешимо с для уравнения (20) имеет следующем виде

                       (21)

Отсюда определим неизвестная функция

.                                                                                      (22)

Тогда из уравнения (20) определяются  вектор следующем образом

,                                                    (23)

где неизвестная функция  определяются на следующем шаге. Описанная здесь схема решения показывает, как можно найти элементы формального разложения (6), т. е. векторы  c любом номером s=0,1,….

Теорема 1 доказана.

Теперь покажем, что формальные решение являются асимптотическим разложениям и некоторых точных решений системы (1). В связи с этим рассмотрение вводим так называемся m-тое приближение к искомым решением системы (1) в веди

Пуст  приставляет собой точное решение системы (1), удовлетворяющее при  тем же начальным условиям, что и . Тогда можно показать, что приближенное решение  асимптотически сходится к точному решению

Не останавливаясь подробно на деталях доказательства укажем основные его этапы. Наряду с системой (1) рассмотрим эквивалентную ей систему уравнений первого порядка

                                                                                          (25)

в котором -матрица и -мерные вектор имеет структуру

где 0-нулевая, E–единичная  матрицы. Эта система получаются из системы (1) посредством замены

Для уравнения (25)  — приближенный будет .

Лемма. Пусть выполняются условия теорема 1, тогда  — приближение  удовлетворяет уравнению

                                 (26)

где  — вектор-функция равно мерно ограниченная на сегменте [0,L]

Доказательство леммы производится постановкой выражения

в уравнение (25) и последующей оценки полученных выражений (см [3]).

Введем рассмотрение разность

.                                                                                         (28)

где  и  — приближенные и точное решение системы (25), соотствуюшее одиноким начальным условиям. Очевидно, вектор-функция  удовлетворяет уравнению

            (29)

с начальными условиями

                                                                                                                   (30)

Теорема 2. Предположим, что выполнении условия теоремы 1, и вектор-функция  удовлетворяет условию Лепщица с постоянной :

                                                                  (31)

Тогда найдется такие положительные числа  и  что при  на интервал  будет выполняется неравенство:

                                                                                 (32)

Доказательство. Легко видеть, что система (29) с условиям (30) эквивалентна следующей системе интегральных уравнений:

где  являются решение задачи

                                                                                   (34)

удовлетворяющие условию

                                                                                              (35)

Из (33), учитывая неравенство (31) и (35) получим

Согласно равномерно ограниченности на [0,L].

из неравенства (36) следует неравенство

где

Тогда для системы (1) получаем оценку вида

                                                                      (38)

Теорема 2 доказана.

 

Литература:

 

1.         Алишев А. Г. Решение нелинейных дифференциальных уравнений дробного ранга. // ДАН. УССР, сер. А, Н6, — 1982, — с. 6–9.

2.         Басилева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярной возмущённые уравнение в критических случаях. — Изд. МГУ. — 1978. — 105 с.

3.         Фихтенгольц Б. П. Основы математического анализа. — М.: Наука, — 1968, — 440 с.

4.         Алишев А. Г. Приближенные решение системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Препринт. АНУзССР, НПО «Кибернетика», Т. — 1994, — 59 с.

Основные термины (генерируются автоматически): нелинейных дифференциальных уравнений, системы нелинейных дифференциальных, решение системы, систему уравнений, нелинейных дифференциальных уравнения, характеристического уравнения, матрица порядка, дифференциальных уравнений высших, дифференциальных уравнений дробного, решений системы нелинейных, условия теоремы, дифференциальных уравнений второго, начальным условиям, уравнений первого порядка, следующую систему уравнений, решение системы нелинейных, нуля корней уравнения, Решение системы нелинейных, матрицы и координаты вектор, -собственные вектор матрицы.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос