Моделирование свойств композитов

Сорокин, Дмитрий Сергеевич; Данилов, Александр Максимович

Особое место при синтезе композиционных материалов занимает математическое моделирование их свойств. Оно позволяет исследовать процессы с различным физическим содержанием, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Естественно, математическая модель будет описывать формализованный процесс функционирования композита как системы лишь приближенно, охватывая только основные характерные закономерности. К сожалению, не существует формальных правил для выбора характеристик состояний и параметров композитов как систем.

Рассмотрим различные виды моделей, используемых при анализе и синтезе композиционных материалов с указанием их основных достоинств и недостатков.

Модель регрессионного анализа (регрессионная модель). Используется для определения зависимости отклика от количественных факторов (температура, давление, вес и т. п.) и ошибок наблюдения отклика:

Для -го наблюдения:

(при равноточности и некоррелированности наблюдений: , , ). Существенным ограничением методаявляется воздействие на отклик только количественных факторов.

Таким образом, регрессионный анализ — статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на сочетании аппарата метода наименьших квадратов и техники статистической проверки гипотез.

Если функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов, то указанная модель называется моделью регрессионного анализа, линейной по параметрамилилинейной моделью. В этом случае

,

, .

Здесь — параметры модели (коэффициенты регрессии) ; — известные базисные функции переменных (факторов), не зависящие от параметров модели; — вектор-строка базисных функций (базисная вектор-функция); – вектор параметров модели.

В частном случае получается полиномиальная модель регрессионного анализа(полиномиальная модель), задаваемая полиномом по факторам. Ее частные случаи:

- модель регрессионного анализа первого порядка(линейная модель), задаваемая полиномом первого порядка: (введя фиктивную переменную , модель можно представить в виде );

- модель регрессионного анализа второгопорядка (квадратичная модель), задаваемая полиномом второго порядка; (в общем случае содержит параметров):

К сожалению, регрессионные модели не обладают возможностью необходимой физической интерпретации их коэффициентов.

Во избежание путаницы будет не лишним указать стандартизованные термины и определения. Отклик — наблюдаемая случайная переменная, по предположению, зависящая от факторов (например, количественная характеристика выбранного свойства композита от факторов).Под фактором понимается переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента (в большинстве моделей могут рассматриваться как детерминированные переменные). Обычно выражаются в безразмерных единицах масштаба и обозначаются буквами . Совокупность факторов изображается вектором , т — символ транспонирования. Уровень фактора — фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Фактор, варьируемый на уровнях, называют -уровневым фактором. Основной уровень фактора — натуральное значение фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале; обозначается , где i — номер фактора. Нормализация факторов — преобразование натуральных значений факторов в безразмерные. Значение в безразмерной системе определяется в виде ,

где — основной уровень фактора, принимаемый за начало отсчета, — интервал в натуральных единицах масштаба, соответствующий одной единице масштаба в безразмерных переменных. Априорное ранжирование факторов — выбор наиболее важных факторов на основе экспертной оценки (метод основан на упорядочении экспертами множества факторов по убыванию (или возрастанию) их важности). Размах варьирования фактора — разность между максимальным и минимальным натуральными значениями фактора в данном плане (определяет границы области варьирования данного фактора в данном эксперименте). Интервал варьирования фактора — половина размаха варьирования фактора (задает область действия для данного плана).

Функция отклика — зависимость математического ожидания отклика от факторов. Она выражается соотношением

или .

Функция отклика связывает между собой математическое ожидание отклика , совокупность факторов, выражаемую вектором , и совокупность параметров модели, определяемую вектором .

Параметры модели априори неизвестны и подлежат определению из эксперимента. На функцию отклика могут переноситься определения, связанные с моделью, например, линейная (по параметрам), полиномиальная, квадратичная и т. д.Оценка функции отклика — зависимость, получаемая при подстановке в функцию отклика оценок значений ее параметров. Дисперсия оценки функции отклика — дисперсия оценки математического ожидания отклика в некоторой данной точке факторного пространства. Поверхность отклика — геометрическое представление функции отклика (размерность k; размещена в -мерном пространстве). Поверхность уровня функции отклика — геометрическое место точек в факторном пространстве, которому соответствует некоторое фиксированное значение функции отклика. Область оптимума — область факторного пространства в окрестности точки, в которой функция отклика достигает экстремального значения.

Модель дисперсионного анализа. Используется для исследования зависимости отклика от качественных факторов (тип прибора, вид материала, сорт зерна и т. д.) и ошибок наблюдений отклика: ,

где — дискретные переменные, обычно целочисленные (часто либо 0, либо 1). Наиболее простые предположения о случайных величинах те же, что и для модели регрессионного анализа. Если количественный фактор принимает в эксперименте небольшое число различных значений, то его можно рассматривать как качественный.

При детерминированных неизвестных параметрах модель называется моделью спостоянными факторами или моделью I. Модель, в которой все параметры (может быть за исключением одного) являются случайными величинами, называется моделью со случайными факторами, или моделью II. В промежуточных случаях модель называется смешанной.

Метод ковариационного анализа. Используется при воздействии на отклик как количественных, так и качественных факторов; анализ и обработка экспериментальных производится при сочетании элементов регрессионного и дисперсионного анализа.

При составлении моделей в большинстве случаев используются методы планирования эксперимента. В простейшем случае — полный факторный план (содержит все возможные комбинации всех факторов на определенном числе уровней равное число раз; характеризуется наличием ряда факторов, каждый из которых варьируется на двух пли более уровнях; многие типы планов можно интерпретировать как частные случаи факторных планов). В основном используется дробный факторный план (дробная реплика полного факторного плана), содержащий часть комбинаций полного факторного плана. В регулярных дробных факторных планах в структуре дробных реплик сохраняются некоторые важные характеристики полного плана (например, симметрия и ортогональность; генератором плана является алгебраическое выражение, используемое при построении дробного факторного плана). План эксперимента первого порядка (линейный план) — план с двумя пли более уровнями факторов, позволяющий найти раздельные оценки параметров регрессионной модели первого порядка (называется симплекс-план, если точки размещаются в вершинах k-мерного симплекса). План эксперимента второго порядка — план с более чем двумя уровнями факторов для нахождения оценок параметров регрессионной модели второго порядка. План дисперсионного анализа — план с дискретными уровнями факторов для нахождения оценок параметров дисперсионной модели. Критериемоптимальности плана (используется более 20 различных критериев оптимальности планов)чаще всего является критерий — оптимальности (мера эффективности плана, означающая минимизацию определителя матрицы ) ,.

Приведенные методы успешно использовались при многокритериальном синтезе композитов специального назначения повышенной плотности [1…5]. В частности, были получены следующие зависимости пористости q₁, %, и прочности на сжатие q₂, МПа, от объемных долей , заполнителя и наполнителя: