Моделирование как способ познания окружающего мира, в современной науке существует недавно. Моделирование представляет собой объединение математических дисциплин (теория графов, исследование операций, математическое программирование, уравнения математической физики и т. д.), на базе которых осуществляется решение целого ряда задач природы и общества. Естественно, формулировки задач являются отражением реальных процессов и явлений, которые приносят пользу или несут угрожающий характер для деятельности человека. Моделирование сложных процессов и структур вынуждает ученых объединять старые и создавать новые математические аппараты и инструменты.
Начало 70-х годов прошлого века было ознаменовано появлением новой научной парадигмы, называемой синергетикой (от греч. synergeia — совместное действие, сотрудничество). Синергетика, основы которой были заложены Германом Хакеном и лауреатом Нобелевской премии Иваном Пригожиным, определяется как наука о коллективных статистических и динамических явлениях в закрытых и открытых многокомпонентных системах с «кооперативным» взаимодействием элементов систем. В физике, химии и биологии синергетика занимается структурными особенностями пространственно-временной самоорганизации систем. Самоорганизация возникает в системах большой размерности и по сути представляет собой совместное существование взаиморегулируемых и взаимозависимых подсистем. Оказывается, в этом понимании между различными системами существует тесная связь, даже если они состоят из разнородных элементов с существенно отличными элементарными взаимодействиями.
Необходимость исследования открытых, нелинейных, далеких от равновесия систем во многих областях физики, техники, химии, экономики, экологии привела к развитию междисциплинарных подходов. Одним из наиболее успешных междисциплинарных подходов и является синергетика. В основе современной синергетики лежат три парадигмы, появившиеся друг за другом: парадигма диссипативных структур, парадигма динамического хаоса и парадигма сложности.
Во многих гидродинамических системах ключевое значение имеет наличие в них диссипативных процессов (вязкости, диффузии, теплопроводности). Они позволяют исследуемым системам «забыть» начальные данные и независимо от их «деталей» сформировать с течением времени одни и те же или похожие пространственно-временные структуры. Иными словами, немного изменив начальный профиль (начальные данные в соответствующей задаче математической физики), в конце концов мы получаем одно и то же стационарное распределение переменных в пространстве. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, такие структуры, с легкой руки И. Р. Пригожина, стали называть диссипативными структурами. В основе большинства исследований научной школы И. Р. Пригожина лежали системы параболических уравнений типа реакция-диффузия.
Если говорить о парадигме диссипативных структур как о подходе к анализу спонтанного возникновения упорядоченности в нелинейных средах, т. е. о самоорганизации, то следует сказать и о научной школе член-корреспондента РАН С. П. Курдюмова. Научная школа С. П. Курдюмова сформировалась в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, в МГУ им. М. В. Ломоносова, в Московском физико-техническом институте в 80-е годы прошлого столетия. Усилия участников этой научной школы были вложены в построение качественной теории нелинейного уравнения теплопроводности с объемным источником, так называемой модели тепловых структур.
Качественная теория, отражающая в основном эффекты, понятые с помощью компьютерного моделирования, потребовала новых математических идей, существенно опирающихся на то, что мы имеем дело с одной переменной Г, а не с их набором. В отличие от стационарных диссипативных структур, которые изучались в брюссельской школе под руководством И. Р. Пригожина, в научной школе СП. Курдюмова исследовались нестационарные диссипативные структуры, развивающиеся в режиме с обострением. Под режимом с обострением понимают такие законы изменения параметров исследуемой системы, когда одна или несколько описывающих ее величин неограниченно возрастает за ограниченное время. В научной школе СП. Курдюмова было открыто явление локализации тепла, обнаружены и исследованы так называемые собственные функции нелинейной среды, описывающие, как правило, волны горения, сохраняющие в процессе эволюции свою форму.
В 1963 году американский метеоролог Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). Целью этой работы был ответ на вопрос: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных (на 2–3 недели вперед) прогнозов погоды.
Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату. Им был открыт динамический хаос, т. е. непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.
Картина, полученная на компьютере, убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явление — динамический хаос. Этот клубок траекторий, называемый сейчас аттрактором Лоренца, описывает непериодическое движение с конечным горизонтом прогноза.
С точки зрения математики, можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в фазовом пространстве. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество ортогональных осей, которое необходимо задать для определения состояния системы. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году предложили название — странный аттрактор.
Пророчество Анри Пуанкаре о том, что в будущем можно будет предсказывать новые физические явления, исходя из общей математической структуры описывающих эти явления уравнений, компьютерные эксперименты превратили в реальность.
Система Лоренца имеет конечный горизонт прогноза. Почему? Можно пояснить это следующим образом. Если мы вновь возьмем две близкие траектории, то они расходятся. Одна уходит от второй. Скорость расходимости определяется так называемым ляпуновским показателем, и от этой величины зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз. Можно сказать, что для каждой системы есть свой горизонт прогноза.
В русском языке термин «сложность» имеет двоякий смысл. С одной стороны, его можно понимать как сложность устройства, т. е. как наличие в некоторой системе большого числа элементов и нетривиальных связей между ними. А с другой — речь может идти о сложности внешних проявлений системы безотносительно ее внутреннего устройства, т. е. о нетривиальном поведении. Эти две «сложности» во многом взаимосвязаны, но не эквивалентны.
Хотя строгого и общего определения сложности не существует, опыт развития синергетики и изучения конкретных систем, интуитивно определяемых нами как сложные, позволяет высказать некоторые общие соображения о свойствах любой сложной системы на разных уровнях описания.
Многие системы обладают простой иерархической структурой, например, литосферу Земли можно представить как систему блоков, разделенных разломами. Каждый из этих блоков делится на более мелкие, те, в свою очередь, на еще более мелкие и т. д. Геофизики выделяют более 30 иерархических уровней в земной коре от тектонических плит протяженностью в тысячи километров до зерен горных пород миллиметрового размера. Большие землетрясения обычно сопровождаются многочисленными повторными толчками — афтершоками, которые каскадом перераспределяют напряжение вниз по иерархии разломов. А подготовка землетрясения происходит посредством обратного каскада передачи напряжения, восходящего с нижних уровней иерархии к верхним.
Мы можем наблюдать поведение иерархических систем только на верхних уровнях иерархии (землетрясения, исполнение распоряжений, результаты голосования). Однако причины событий лежат на нижних уровнях, и важно представлять, как происходит взаимодействие уровней.
Литература:
1. Кононова Наталия Владимировна. Многокритериальная задача о раскраске на предфрактальных графах. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. — Ставрополь: Ставропольский государственный университет, 2008.
