На кафедре «Начертательной геометрии и инженерной графики» Ташкентского института ирригации и мелиорации студентам первого курса бакалавриатуры проводится занятие по разделу «Проекции геометрических тел», где выдаются различные геометрические фигуры. На занятиях объясняется и показывается задание для выполнения графических работ по вычерчиванию геометрических фигур: призмы, пирамиды и т. д. по техническим деталям контурных их состоят из линий разного вида линий: прямых, дуг, окружностей и т. д. Поэтому для выполнения чертежей требуется знание геометрических построений — деление отрезка прямой, деление окружностей и т. п. На занятиях приводится пример деления окружностей на равные части и каждому студенту для самостоятельной графической работы выдается вариант задания с указанием числовых величин диаметра окружности и числа сторон многоугольника.
Выдаются задания: начертить на горизонтальной плоскости окружность диаметром
и разделить их на три (четыре, …)
- построить на них треугольник (четырехугольник, пятиугольник, …) описанный и вписанный в данную окружность;
- выделить в горизонтальной плоскости вписанный в окружности треугольник, как пирамиду, а описанный в окружности треугольник как призму;
- спроектировать на недостающих проекциях фронтальной и профильной
плоскостях пирамиду и призму с высотой
.
По литературным источникам [1, 2] известны методы деления окружности на равные части и построения их, как вписанных в окружность многоугольников. Разделение окружности на равные части можно несколькими способами: при помощи графических (рисунок 1, а, б) построений, с помощью таблицы хорд (таблица 1), с помощью циркуля (рисунок 2, а, б и в), с помощью транспортера и угольных линеек.
Таблица 1
Численные значения длины отрезка хорд
n |
3 |
34 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
14 |
15 |
16 |
K |
0,866 |
0,707 |
0,587 |
0,5 |
0,434 |
0,383 |
0,342 |
0,309 |
0,259 |
0,223 |
0,208 |
0,195 |
Примечание: n — число делений окружности; K — коэффициент уменьшения диаметра. |
а) б)
Рис. 1. Графический способ построения многоугольника.
Нами приводится методика построения описанной в окружности многоугольника, например, треугольника. Чертим осевые — горизонтальные и вертикальные линии и вычерчиваем окружность, например, диаметром (рисунок 2, а). При помощи циркуля, радиусом
окружности, делим данную окружность на равные части и вершины треугольника фиксируем точками
. Соединяя эти точки, получим вписанный треугольник
. Для получения описанного по окружности
, мы находим и определяем максимальное расстояние отрезка по сектору
. Можно определить двумя способами: 1 — по вертикальной осевой линии от центра
окружности на пересечения сторон отрезка
и окружности фиксируем две точки:
и
; 2 — радиусом
, от точек
и
проводим засечки в двух местах и соединяя их делим отрезок
пополам, место соединения этих линий будет
и
. Расстояние отрезка двух точек
является максимальное расстояние отрезка по сектору
и фиксируем этот расстояние как радиус малой окружности, т. е.
, в отличие от большой
окружности.
По вершинам остроконечности треугольника вычерчиваем дуги малой окружности радиусом
(рисунок 2, б). Например, по вершинам двух дуг (точка а и точка в) проводим касательную (сопряженную) линию, тогда данная линия получается как параллельная линия
, т. е. отрезки
. То же самое происходит и с другими линиями: от точек «
» и «
» проводим касательную линию, которая является параллельной линией —
. Аналогично происходит и с вершинами хорд «
» и «
» — получаем
. После полученных трех вспомогательных отрезков
; и
, которые расположены вне окружности и эти вспомогательные линии доводим их до пересечения между ними (рисунок 2, в). Место пересечения их обозначим буквами
и после обведения контурными линиями — получим описанный по окружности
треугольник
.
а) б) в)
Рис. 2. Метод построения вписанной и описанной по окружности треугольника , где: а) — деление окружности на три части —
; б) — построение вписанной в окружности треугольника
; в) — построение описанной по окружности треугольника
.
На рисунке 3 приводится построения на горизонтальной проекции описанный и вписанный в окружность треугольник. При помощи циркуля, радиусом
окружности, делим данную окружность на равные части и вершины треугольника фиксируем точками
. Соединяя эти точки, получим вписанный треугольник
. Также по деленным точкам описанного в окружности получаем другой треугольник
. В дальнейшем из горизонтальной проекции проводим во фронтальную
проекцию ортогональные линии и фиксируем нижнюю часть основания призмы
. Строим по выданным параметрам
высоту призму и на этой полученной высоте призмы определяем ортогональную проекцию основания пирамиды
. После этого, также по данной высоте
строим пирамиду с вершиной
. Полученная фигура состоит из двух геометрических тел — призмы
и пирамиды
.
Рис. 3. Пример построения двух геометрических фигур на одной модели: призмы и пирамиды
.
Далее по ортогональным проекциям строим данную фигуру в профильной проекции. Студент по своему выбору может спроектировать другой модель, т. е. вписанный треугольник выбрать как пирамиду
, а описанный по окружности треугольник — призму
(рисунок 4). Аналогичные построения этого примера будет как и в предыдущем построении данной модели.
Здесь в отличие от предыдущего примера, описанная по окружности треугольник является основанием усеченной, по горизонтали, пирамиды, а вписанный треугольник
— призмой. Нижняя часть модели является усеченная трехгранная пирамида, а верхняя часть — трехгранная призма.
Рис. 4. Построение двух геометрических фигур на одной модели: усеченной пирамиды и призмы
Каждому студенту для самостоятельной графической работы выдается вариант задания с указанием численных величин диаметра окружности , число сторон многогранников
и, варьируя двумя величинами
и
получим более тридцати вариантов. Также по такому же методу можно проделать и с четырехугольником, пятиугольником и т. д. — находим вписанный четырехугольник (пятиугольным) потом уже описанный по окружности четырехугольник.
Из выше приведенного можно сделать следующие выводы:
- при построении многоугольника надо разделить окружность на равные части (3) и построить в начале вписанный многоугольник, также следом за ним описанный по окружности многоугольник;
- при построении геометрической фигуры модели необходимо начать строить с горизонтальной проекции, затем фронтальную
и профильную
;
- студент может самостоятельно спроектировать по своему выбору на одной модели две разные геометрические фигуры: призму и пирамиду;
- при построении на горизонтальной проекции из двух многоугольников необходимо сначала выбрать пирамиду, а затем уже призму.
Литература:
1. Брилинг Н. С., Евсеев Ю. П. Задания по черчению: — 2 изд, М.: Строй издат, 1984. 256 с.
2. Миронова Р. С., Миронов Б. Г. Сборник заданий по черчению. М.: Высш. шк., 1984.264с.