Метод построения двух геометрических фигур на одной модели

На кафедре «Начертательной геометрии и инженерной графики» Ташкентского института ирригации и мелиорации студентам первого курса бакалавриатуры проводится занятие по разделу «Проекции геометрических тел», где выдаются различные геометрические фигуры. На занятиях объясняется и показывается задание для выполнения графических работ по вычерчиванию геометрических фигур: призмы, пирамиды и т. д. по техническим деталям контурных их состоят из линий разного вида линий: прямых, дуг, окружностей и т. д. Поэтому для выполнения чертежей требуется знание геометрических построений — деление отрезка прямой, деление окружностей и т. п. На занятиях приводится пример деления окружностей на равные части и каждому студенту для самостоятельной графической работы выдается вариант задания с указанием числовых величин диаметра окружности и числа сторон многоугольника.

Выдаются задания: начертить на горизонтальной  плоскости окружность диаметром  и разделить их на три (четыре, …)

-          построить на них треугольник (четырехугольник, пятиугольник, …) описанный и вписанный в данную окружность;

-          выделить в горизонтальной  плоскости вписанный в окружности треугольник, как пирамиду, а описанный в окружности треугольник как призму;

-          спроектировать на недостающих проекциях фронтальной  и профильной  плоскостях пирамиду и призму с высотой .

По литературным источникам [1, 2] известны методы деления окружности на равные части и построения их, как вписанных в окружность многоугольников. Разделение окружности на равные части можно несколькими способами: при помощи графических (рисунок 1, а, б) построений, с помощью таблицы хорд (таблица 1), с помощью циркуля (рисунок 2, а, б и в), с помощью транспортера и угольных линеек.

Таблица 1

Численные значения длины отрезка хорд

                                                    а)                                                      б)

Рис. 1. Графический способ построения многоугольника.

Нами приводится методика построения описанной в окружности многоугольника, например, треугольника. Чертим осевые — горизонтальные и вертикальные линии и вычерчиваем окружность, например, диаметром  (рисунок 2, а). При помощи циркуля, радиусом  окружности, делим данную окружность на равные части и вершины треугольника фиксируем точками . Соединяя эти точки, получим вписанный треугольник . Для получения описанного по окружности , мы находим и определяем максимальное расстояние отрезка по сектору . Можно определить двумя способами: 1 — по вертикальной осевой линии от центра  окружности на пересечения сторон отрезка  и окружности фиксируем две точки:  и ; 2 — радиусом , от точек  и  проводим засечки в двух местах и соединяя их делим отрезок  пополам, место соединения этих линий будет  и . Расстояние отрезка двух точек  является максимальное расстояние отрезка по сектору  и фиксируем этот расстояние как радиус малой окружности, т. е.  , в отличие от большой  окружности.

По вершинам остроконечности треугольника  вычерчиваем дуги малой окружности радиусом  (рисунок 2, б). Например, по вершинам двух дуг (точка а и точка в) проводим касательную (сопряженную) линию, тогда данная линия получается как параллельная линия , т. е. отрезки . То же самое происходит и с другими линиями: от точек «» и «» проводим касательную линию, которая является параллельной линией — . Аналогично происходит и с вершинами хорд «» и «» — получаем . После полученных трех вспомогательных отрезков ; и , которые расположены вне окружности и эти вспомогательные линии доводим их до пересечения между ними (рисунок 2, в). Место пересечения их обозначим буквами

 и после обведения контурными линиями — получим описанный по окружности  треугольник .

                            а)                                                               б)                             в)

Рис. 2. Метод построения вписанной и описанной по окружности треугольника , где: а) — деление окружности на три части — ; б) — построение вписанной в окружности треугольника ; в) — построение описанной по окружности треугольника .

На рисунке 3 приводится построения на горизонтальной  проекции описанный и вписанный в окружность треугольник. При помощи циркуля, радиусом  окружности, делим данную окружность на равные части и вершины треугольника фиксируем точками . Соединяя эти точки, получим вписанный треугольник . Также по деленным точкам описанного в окружности получаем другой треугольник . В дальнейшем из горизонтальной проекции проводим во фронтальную  проекцию ортогональные линии и фиксируем нижнюю часть основания призмы . Строим по выданным параметрам  высоту призму и на этой полученной высоте призмы определяем ортогональную проекцию основания пирамиды . После этого, также по данной высоте  строим пирамиду с вершиной . Полученная фигура состоит из двух геометрических тел — призмы  и пирамиды .

Рис. 3. Пример построения двух геометрических фигур на одной модели: призмы  и пирамиды .

Далее по ортогональным проекциям строим данную фигуру в профильной  проекции. Студент по своему выбору может спроектировать другой модель, т. е. вписанный треугольник выбрать как пирамиду , а описанный по окружности треугольник — призму  (рисунок 4). Аналогичные построения этого примера будет как и в предыдущем построении данной модели.

Здесь в отличие от предыдущего примера, описанная по окружности треугольник  является основанием усеченной, по горизонтали, пирамиды, а вписанный треугольник  — призмой. Нижняя часть модели является усеченная трехгранная пирамида, а верхняя часть — трехгранная призма.

Рис. 4. Построение двух геометрических фигур на одной модели: усеченной пирамиды  и призмы

Каждому студенту для самостоятельной графической работы выдается вариант задания с указанием численных величин диаметра окружности , число сторон многогранников  и, варьируя двумя величинами  и  получим более тридцати вариантов. Также по такому же методу можно проделать и с четырехугольником, пятиугольником и т. д. — находим вписанный четырехугольник (пятиугольным) потом уже описанный по окружности четырехугольник.

Из выше приведенного можно сделать следующие выводы:

-          при построении многоугольника надо разделить окружность на равные части (3) и построить в начале вписанный многоугольник, также следом за ним описанный по окружности многоугольник;

-          при построении геометрической фигуры модели необходимо начать строить с горизонтальной  проекции, затем фронтальную  и профильную ;

-          студент может самостоятельно спроектировать по своему выбору на одной модели две разные геометрические фигуры: призму и пирамиду;

-          при построении на горизонтальной проекции из двух многоугольников необходимо сначала выбрать пирамиду, а затем уже призму.

Литература:

1.                  Брилинг Н. С., Евсеев Ю. П. Задания по черчению: — 2 изд, М.: Строй издат, 1984. 256 с.

2.                  Миронова Р. С., Миронов Б. Г. Сборник заданий по черчению. М.: Высш. шк., 1984.264с.