Построения с помощью циркуля и линейки



Геометрические построения имеют богатую историю и восходят к Евклиду: ещё в самой первой задаче «Начал» (300 г. до н. э.) читателю предлагается задание на построение. Такие упражнения позволяют людям научиться искать пути решения задач и анализировать различные ситуации. В наше время геометрические построения имеют и прикладной характер — они широко используются инженерами в черчении.

Будем предполагать, что у нас имеется циркуль и линейка без делений. Задачи на построение предполагают три этапа:

1) построение и описание хода действий;

2) доказательство;

3) выяснение условий существования решения задачи.

Рассмотрим две задачи и проиллюстрируем выполнение геометрических построений.

Задача 1. Построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный данному отрезку (рис. 1).

Рис. 1.

Построение.

1) Поставим точку .

2) С помощью циркуля измеряем отрезок .

3) С помощью циркуля строим окружность с центром и радиусом .

4) С помощью линейки проводим из точки

луч .

5) Обозначим точкой пересечение луча и окружности 𝜔: .

6) Отрезок искомый.

Рис. 2.

Доказательство.

.

Тогда по определению окружности

Таким образом, и отрезок искомый.

Условия существования решения задачи.

Решение данной задачи существует всегда. Всегда можно с помощью циркуля построить окружность данного радиуса с центром в некоторой точке, с помощью линейки провести луч с началом в некоторой точке, причём луч обязательно пересечёт окружность, если его начало лежит внутри окружности. Тогда каждый шаг нашего построения всегда имеет место.

Задача 2. Построить треугольник по трём сторонам, длины которых равны длинам отрезков , и (рис. 3).

Рис. 3.

Построение.

1) Построим с помощью циркуля и линейки, как в задаче 1.

2) Построим с помощью циркуля окружность

c центром в точке радиуса .

3) Построим с помощью циркуля окружность с центром в точке радиуса .

4) Обозначим .

5) Треугольник искомый (рис. 4).

Рис. 4.

Доказательство.

По построению (рис. 4).

По построению , — радиус

, — центр , тогда (по определению окружности).

По построению , — радиус , — центр , тогда (по определению окружности).

Таким образом, треугольник искомый.

Условия существования решения задачи.

Из нашего построения видно, что условиями существования треугольника являются условия пересечения окружностей и в двух точках.

Рис. 5.

Рассмотрев радиусы

и на прямой, проходящей через центры этих окружностей, при всевозможных взаимных расположениях и , замечаем, что необходимым и достаточным условием пересечения окружностей и в двух точках является выполнение следующей системы неравенств, называемых неравенствами треугольника:

Литература:

1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций, 8-е изд., М.: Просвещение, 2018, 383 с.
2. Джордж Пойа, Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание, М.: Наука, 1976, 448 с.