Показано, что проверка гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли с использованием критерия 
равносильна проверке тех же гипотез с использованием двустороннего критерия, основанного на нормальном приближении относительных частот «успеха».
Ключевые слова: испытания Бернулли, вероятности «успеха», критерий Пирсона, двусторонний критерий.
1. Вступление
Наряду с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительной частоты, гипотезу о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли можно проверить с использованием критерия Пирсона как гипотезу о распределении индикатора события. Однако в учебной литературе данная возможность почему-то не освещается. В связи с этим возникает потребность в сравнении обоих подходов.
То же самое касается и проверки гипотезы о равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли, которую можно трактовать как гипотезу об однородности, и возможности использования для ее проверки критерия Пирсона.
Сказанное и побудило автора к написанию данной статьи.
2. Постановка задачи
В данной работе ставится задача продемонстрировать «хи»-квадрат методику к проверке гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в каких-либо двух независимых схемах Бернулли, и ее сравнение с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительных частот.
Математическая постановка задач приводится в пунктах 3, 4.
3. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли
Пусть в 
испытаниях Бернулли «успех» имел место 
раз. Необходимо проверить нулевую гипотезу 
, где — 
вероятность «успеха» в отдельном испытании, 
— фиксированное число (
).
В стандартном учебном курсе математической статистики [1] критерий проверки этой гипотезы строится на сравнении заданного числа с относительной частотой «успеха» 
. Если достаточно большое, а заметно отличается от 0 и 1, то в качестве статистики критерия берут статистику [1, с. 318, 2, с. 305]
. (1)
В формуле (1) 
— случайная величина.
При условии правильности нулевой гипотезы статистика (1) имеет распределение, близкое к нормальному распределению 
[1, с. 317, 2, с. 305].
Критическая область для уровня значимости 
выбирается в зависимости от вида альтернативной гипотезы. В частности, для альтернативной гипотезы 
критическая область определяется неравенством [2, с. 306, 3, с. 208]
, (2)
где 
— выборочное значение статистики (1), 
— квантиль нормального распределения порядка 
.
Для альтернативных гипотез 
и 
критические области определяются неравенствами 
и 
соответственно.
Эту же гипотезу можно проверить с использованием критерия Пирсона. В связи с этим рассмотрим случайную величину 
— индикатор «успеха» (
приобретает значение 1 в случае «успеха» и значение 0 в случае «неудачи»). Это позволяет сформулировать нашу гипотезу 
в равносильном виде
случайная величина имеет распределение
(3)
и воспользоваться критерием Пирсона.
Пусть для проверки нулевой гипотезы (3) проведено испытаний Бернулли и «успех» наступил раз.
Результаты испытаний относительно случайной величины представим в виде:
Таблица 1
Результаты испытаний
|
0 |
1 |
|
|
|
Область возможных значений разбита на 
множества: 
, 
. При условии, что гипотеза правильная,
, 
.
Для выборочного значения статистики критерия получаем
. (4)
Это значение сравнивается с квантилем 
. Здесь 
— квантиль -распределения с одной степенью свободы порядка 
. В случае 
гипотеза отклоняется.
Теперь покажем, что критерий проверки гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» с использованием соотношения (4) равносилен двустороннему критерию (1), (2).
Действительно, квадрат выборочного значения статистики критерия (4) равен квадрату выборочного значения статистики (1), то есть 
. Кроме того, справедливо равенство квантилей
. (5)
В результате получаем равносильность неравенств
(
).
Таким образом, нулевая гипотеза с использованием критерия отклоняется тогда и только тогда, когда она отклоняется в случае использования двустороннего критерия (1), (2).
Осталось доказать равенство квантилей (5). Для этого рассмотрим случайную величину 
с нормальным распределением и воспользуемся равенством
.
Учитывая, что по определению -распределения 
, получим
,
откуда следует равенство (5).
Следует помнить, что в отличие от первого подхода методика с использованием критерия Пирсона не дает возможности строить двусторонние критерии проверки гипотезы .
Кроме того, в соответствии с доказанным методика предусматривает те же условия нормального приближения относительной частоты «успеха». Если эти условия не выполняются, следует пользоваться критериями, основанными на точном (биномиальном) распределении относительной частоты.
4. Проверка гипотезы о равенстве значений вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли
Рассмотрим независимо друг от друга две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в 
испытаниях первой последовательности событие 
появляется 
раз, а в 
испытаниях второй последовательности — 
раза. Обозначим через 
и 
вероятности наступления события («успеха») в отдельном испытании соответственно первой и второй последовательностей. Необходимо проверить гипотезу 
. Критерий этой проверки основывается на сравнении относительных частот «успеха» 
и 
.
В качестве статистики критерия принимают статистику [2, с. 324, 3, с. 222]
. (6)
При условии правильности гипотезы 
распределение этой статистики близко к нормальному распределению 
. При вычислении выборочного значения статистики (6) в качестве неизвестного параметра принимают оценку
, (7)
где 
и 
— выборочные значения величин и соответственно.
Критическая область определяется неравенствами:
— для альтернативной гипотезы 
;
— для альтернативной гипотезы 
;
— для альтернативной гипотезы 
.
Гипотезу о равенстве вероятностей «успеха» можно проверить с помощью критерия Пирсона.
Предположим, что независимо друг от друга проводятся две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в испытаниях первой последовательности «успех» появляется раз. Обозначим через вероятность «успеха» в отдельном испытании первой последовательности. Пусть в испытаниях второй последовательности «успех» появляется раза. Вероятность «успеха» в отдельном испытании второй последовательности обозначим через .
Необходимо проверить гипотезу. Поскольку эта гипотеза эквивалентна гипотезе об однородности двух выборок с объемами и , можно воспользоваться критерием .
С учетом обозначений
выборочное значение статистики этого критерия приобретает вид
.
Поскольку легко убедиться в справедливости равенств
,
получаем
(8)
Проверка гипотезы сводится к сравнению (8) с квантилем
.
Сопоставляя (8) с выборочным значением статистики (6) при 
, видим, что . Кроме того, справедливо равенство (5)
Поэтому критерий Пирсона при проверке гипотезы дает тот же результат, что и приведенный выше критерий (6) при альтернативной гипотезе .
5. Выводы
На рассматриваемых в статье вопросах целесообразно акцентировать внимание в учебной литературе, а также использовать их в учебном процессе.
Литература:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк. — 2003. — 479 с.
2. Михайленко, В. В., Ластівка, І. О. Теорія ймовірностей і математична статистика: підручник. К.: НАУ. — 2013. — 564 с.
3. Ластівка, І. О., Михайленко, В. В. Математика для економістів: навч. посіб. у 3-х ч. Ч. 3. Теорія ймовірностей і математична статистика. К.: НАУ. — 2012. — 272 с.
