Рассмотрим классическую модель определения экономичного размера заказа (EOQ), которая позволяет минимизировать суммарные издержки на хранение и пополнение запасов и модель EOQ с учётом разрывов цен. Этот подход актуален для ситуаций, когда закупочная стоимость единицы товара зависит от объёма партии, что требует корректировки расчётов для поиска наиболее выгодного варианта.
1. Традиционная модель EOQ (экономичного размера заказа)
Допустим, что спрос на продукцию постоянен во времени, а пополнение склада происходит мгновенно и без задержек.
Для дальнейшего описания введём следующие обозначения:
x — Объем заказа (количество единиц продукции),
b — Интенсивность спроса,
t — Продолжительность цикла заказ.
Динамика изменения уровня складских запасов описывается ступенчатой функцией, график которой представлен на рис. 1. Процесс выглядит следующим образом: как только запас достигает нулевой отметки, мгновенно размещается и отгружается заказ объёмом x, где длительность цикла оборота запаса t = x/b [1].
Рис. 1. Характер изменения объёма товаров на складе при использовании традиционной модели
Для определения оптимального объёма заказа x необходимо найти такое значение, при котором целевая функция затрат y(x) достигает своего минимума.
В рамках математической модели мы рассматриваем переменную x как непрерывную величину. Это допущение позволяет применить аппарат дифференциального исчисления. Необходимым условием экстремума (в данном случае — минимума) функции является равенство её первой производной нулю.
Средний уровень запаса определяется соотношением: средний уровень запаса = x/2 единиц.
Для построения функции затрат требуется два стоимостных параметра.
c0 — затраты на оформление, связанные с размещением заказа,
h — затраты на хранение (затраты на единицу складируемой продукции в единицу времени).
Суммарные затраты в единицу времени можно представить как функцию y(x) в следующем виде:
Оптимальное значение объема заказа x определяется путем минимизации по x функции y(x). Предполагая, что x является непрерывной переменной, получаем необходимое условие минимума (в виде уравнения), из которого можно найти оптимальное значение x.
Решая полученное уравнение относительно x, мы находим точку, соответствующую оптимальному размеру заказа.
Условие равенства производной нулю является необходимым и достаточным для достижения минимума, поскольку функция затрат y(x) обладает свойством выпуклости. Решение этого уравнения позволяет определить экономичный размер заказа х опт .
В такой ситуации заказ необходимо размещать заранее, не дожидаясь полного обнуления остатков. Критическим моментом для формирования новой заявки становится достижение запасом определённого порогового уровня. Этот порог, или точка возобновления заказа, рассчитывается исходя из ожидаемого расхода за время поставки и составляет Lb единиц.
Рис. 2. Моменты возобновления закупки, предусмотренные в традиционной модели управления запасами
Если срок поставки превышает длительность цикла заказа, для расчётов используется эффективный срок выполнения заказа Le, который вычисляется по следующей формуле [2].
Le = L — п · tопт (4)
В этой формуле n — обозначает целую часть отношения
2. Расчёт экономичного объёма закупки в условиях ступенчатого ценообразования
Представленная в этом разделе модель управления запасами отличается тем, что производимый товар может быть куплен со скидкой, когда объем x превышает q и стоимость единицы продукции с определяется по формуле:
где c 1 > c 2 . Таким образом, реальные затраты по закупке равны
Общие затраты в пересчете на единицу времени рассчитаем по формуле.
Как показано на рис. 3, функции y 1 и y 2 достигают своего наименьшего значения в одной и той же точке. Это является прямым следствием того, что их значения различаются только на постоянную величину, что не влияет на положение точки минимума.
Рис. 3. Кривые, отображающие поведение функции расходов
Функция общих затрат y(x), ведёт себя следующим образом: до определённого момента её график идентичен графику функции y1(x), но при достижении точки x = q, (где меняется цена) он переходит в график функции y2(x). На рис. 3 проиллюстрировано, что для нахождения оптимального объёма заказа xопт необходимо проанализировать, в какую из трёх зон ( I, II или III ) попадает точка разрыва цены q . Эти зоны — это интервалы [0, xm), [xm, q) и [q, ∞].
Величина q > xm определяется из уравнения:
y2(q) = y1(xm) или
Далее решаем квадратное уравнение относительно Q:
На рисунке 4 показано, как определяется оптимальное значение x опт .
Рис. 4. Три сценария нахождения наилучшего решения
Алгоритм определения xопт можно представить в следующем виде.
Этап 1. Вычисляем
Этап 2. Находим q из уравнения
Литература:
- Гусева, Е. Н. Экономико-математическое моделирование: учебное пособие / Е. Н. Гусева. — 4-е изд., стер. — Москва: ФЛИНТА, 2021. — 216 с. — Серия: Информационные технологии. — Доступ с устройства, имеющего доступ к сети Интернет. — URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=83540.
- Джафаров, К. А. Методы оптимальных решений: задачи управления запасами, очередью и конфликтами: учебное пособие / К. А. Джафаров, Л. В. Роева; Новосибирский государственный технический университет. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2018. — 112 с.: ил., табл. — Доступ с устройства, имеющего доступ к сети Интернет. — URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=574674.
- Волкова, В. Н. Теория информационных процессов и систем: учебник и практикум для вузов / В. Н. Волкова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2023. — 432 с. — (Высшее образование). — ISBN 978–5–534–05621–1. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/511112.
