Формирование контента электронных страниц.

Тема: Аксиома порядка точек на прямой. Отрезок [1], [2].

1-я страница : 1-е окно : сообщение учебной темы, визуальный ряд для подготовки восприятия темы «Аксиомы порядка» (рис. 1). 2-е окно : выяснение смысла понятия аксиомы, уточнение с помощью аксиом, что означает в геометрии порядок точек на прямой и плоскости. Начинаем с понятия «лежать между» для трех точек прямой. В жизни используются выражения: «между двух огней», «между небом и землей», «между молотом и наковальней», «между строк» и т. д. Выразительную иллюстрацию понятия «лежать между» для трех точек прямой дают птицы, сидящие на проводах линии электропередач (см. рис.1. Модель 1).

Рис. 1. Аксиомы порядка

Птицы на модели 1 (см. рис 1) можно пронумеровать, например, слева направо: 1-я, 2-я, 3-я. Только про 2-ю птицу можно сказать, что она сидит «между» 1-й и 3-й птицами, но никак нельзя сказать, что 1-я птица сидит между 2-й и 3-й птицами, или 3-я птица сидит между 1-й и 2-й птицами. В геометрии точно указывается свойство понятия лежать между для трех точек, принадлежащих прямой. Это свойство принимается в качестве первой аксиомы порядка. На её основе сразу уточняется (при помощи определения) важнейшее геометрическое понятие — понятие отрезка.

Задание : приведите другие примеры со словом «между»: закладка в книге, лежащая между 24 и 25 страницами...

Учимся различать геометрические фигуры не только по внешнему виду, но и по свойствам!

Аксиома II.1. Из трех точек, принадлежащих прямой, существует одна и только одна точка, которая лежит между двумя другими (см. рис. 1. Модель 2).

Определение. Множество точек прямой а , состоящее из двух точек А и В этой прямой и всех точек Х , лежащих между ними, называется отрезком . Точки А и В — концы отрезка (см. рис. 1. Модель 3).

Пояснения от Землянина (Землянин — вымышленный персонаж, который всегда поможет каждому ученику! Используется для повышения интерактивности между учеником и учебным средством). 1. Прямая АВ и отрезок АВ часто обозначаются одинаково: АВ . Однако, путаницы от этого обычно не происходит. Из текста каждый раз ясно, когда речь идет о прямой АВ , а когда об отрезке АВ . 2. Отрезок содержит сколь угодно большое число точек (т. е. бесконечное множество точек). Геометрические точки не измеряются, они не имеют размеров (это отметил еще Евклид). Изображая точки, мы иногда делаем одни точки мельче, другие крупнее. Делается это ради наглядности, а не потому, что существуют «мелкие» и «крупные» точки. Для наглядности точки иногда изображаем цветными (белыми, зелеными и т. д.). Необходимо иметь в виду, что точки не имеют никаких свойств, кроме тех, которые указаны в аксиомах.

2-я страница : Вторая аксиома порядка точек на прямой. Луч . Пояснение от Землянина . В жизни вы встречались с такими выражениями как «солнечные лучи», в художественной литературе — «луч света в темном царстве», в физике — «лазерный луч», «рентгеновские лучи», «отраженный луч», «пучок лучей» и др. Хорошее представление о луче, как о математическом понятии на рисунке 2 приводится луч лазера. Что такое луч? Как бы вы своими словами описали это понятие? Луч — это часть прямой. Только какая часть, как её получить?.. Описать свойства луча поможет вторая аксиома порядка точек на прямой.

Рис. 2. Аксиома порядка точек на прямой

Аксиома II.2. Точка, принадлежащая прямой, разбивает все остальные точки прямой на две непересекающиеся части. Эти части прямой называются лучами, аточка, осуществляющая разбиение, — началом лучей.

На модели 4 (см. рис. 2) точка С разбивает прямую а на два луча СА и СВ . Точка С является началом обоих этих лучей. Аксиома утверждает, что точка, принадлежащая прямой, разбивает все остальные точки прямой на два луча. Эти два луча называются дополнительными , они дополняют друг друга (вместе с началом) до прямой.

3-я страница : Аксиома о разбиении плоскости на две полуплоскости. Эта аксиома аналогична аксиоме II.2.

Аксиома II.3. Прямая а , принадлежащая плоскости α (рис. 3), разбивает все точки плоскости, не принадлежащие этой прямой, на две части. Эти части плоскости называются полуплоскостями. Прямая а — граница полуплоскостей.

Рис. 3. Аксиома о разбиении плоскости на две полуплоскости

На рисунке 3 прямая а делит плоскость α на две полуплоскости, такие, что: а) если точки А и В принадлежат одной полуплоскости с границей а , то отрезок АВ не пересекает прямую а , б) если точки В и С лежат в разных полуплоскостях с границей а , то отрезок ВС пересекает прямую а .

Пояснения от Землянина. 1. Рисунок 3 подчеркивает, что плоскость состоит из бесконечного множества точек, плоскость не ограничена. Все точки плоскости равноправны, нет какой-либо особой, центральной точки. 2. Слово «разбить» означает произвести деление чего-либо на две, три и т. д. части: разделить яблоко на части; говорят, что река делит территорию на две части — правобережную и левобережную, экватор делит Землю на две части — Северное и Южное полушарие и т. д. На рисунке 3 изображена противопожарная полоса, она разбивает (делит) территорию леса на две части и является границей этих частей.

4-я страница : резюме — все формулировки аксиом, определений и следствия помещаются на одну страницу, состоящую из трех окон. 1-е окно — графика; 2-е окно — текст; 3-е окно — задания на чтение формулировок вслух, на воспроизведение их глядя только на рисунки.

Заключительная страница по изучению теоретического материала : Интерактивные задания для коллективного выполнения

1-е окно : предназначено для графики, анимаций и моделей (интерактивность представляется полнее, если в ШЭУ имеется встроенный графический конструктор для построений, выполняемых непосредственно учащимися).

2-е окно : 1. Сформулируйте и поясните на рисунке аксиомы порядка точек на прямой и на плоскости. Повторите аксиомы несколько раз, постарайтесь запомнить их. 2. Что называется отрезком? Приведите рисунки, когда два отрезка: а) не имеют общих точек; б) имеют одну общую точку; в) общие их точки образуют отрезок. 3. Что называется лучом? Как обозначается луч? Приведите рисунки, когда два луча: а) не имеют общих точек; б) общие их точки образуют луч. 4. Примеры более сложных заданий: а) На прямой отмечено 100 точек. На сколько неперекрывающихся частей они разбивают прямую? б) На луче отмечено 100 точек. На сколько неперекрывающихся частей они разбивают луч? в) На отрезке отмечено 100 точек. На сколько неперекрывающихся частей они разбивают отрезок? г) На окружности отмечено 100 точек. На сколько неперекрывающихся частей они разбивают окружность?

3-е окно для гиперссылок и обращений к ИИ.

Литература:

1. Рогановская Е. Н. Теория и практика построения школьного учебника геометрии на основе методов оптимизации, энтропии и фрактальной организации: монография / Е. Н. Рогановская. — Могилев: МГУ имени А. А. Кулешова, 2025. — 316 с.
2. Рогановская Е. Н. Урок математики в компьютерном классе. Персонализация обучения / Е. Н. Рогановская // Народная асвета. — Минск: 2011. — № 3. — С. 40–42.