Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами

В работе изучается задача продолжения решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в области  по ее известным значениям  на гладкой части  границы т.е. задача Коши для решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами.

В работе строится семейство вектор функций  зависящих от параметра , и доказывается, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра  семейство  сходится в обычном смысле к решению  в точке  при . Семейство называется регуляризованным решением задачи Коши по М.М. Лаврентьеву.

Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей путем предельного перехода погасить влияние интегралов по части границы, где значения продолжаемой функции не заданы. Идею Карлемана развили Г.М. Голузин и В.И. Крылов, которые нашли общий способ получения формул Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана. А.Н. Тихонов показал, что если решение какой–либо некорректной задачи существует и принадлежит компактному подмножеству соответствующего функционального пространства, то из единственности следует устойчивость решения. Вопросы единственности и устойчивости решения задачи Коши для эллиптических уравнений были исследованы Т. Карлеманом, А. Дуглисом , М.М.Лаврентьевым, Е.М. Ландисом, Ш. Ярмухамедовым , Н.Н. Тархановым, А.А. Шлапуновым и др.

Основываясь на результатах Карлемана и Голузина–Крылова, М.М.Лаврентьев ввел важное понятие функции Карлемана для одномерной системы уравнений Коши–Римана и уравнения Лапласа. Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа – это фундаментальное решение, зависящее от положительного числового параметра, стремящегося к нулю вместе со своей производной по нормали на части границы области вне носителя данных Коши, когда параметр стремится к нулю. М.М.Лаврентьев указал способ построения регуляризации некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа, если известна функция Карлемана. Функция Карлемана для уравнения Лапласа в явном виде была построена в работе Ш. Ярмухамедова.

Пусть, ограниченная область в ,граница которой состоит из части плоскости  и некоторой гладкой поверхности , лежащей в полупространстве .

Пусть, и точки т- мерного Евклидового пространства ,  и транспонированный вектор х.

Введем следующее обозначения:

,

.

 – диагональная матрица,  – площадь поверхности единичной сферы .

Через обозначим класс матриц , сэлементами состоящими из линейных форм с постоянными коэффициентами из С которые удовлетворяет условию:

где  – сопряженная матрица к .

В области  рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:

  (1)

где

Если  и является решением системы (1), тогда верно следующее интегральное представление:

  , (2)

где

 

 – единичная внешняя нормаль, проведенная в точке  на поверхности

Интегральная формула (2) доказано в работе [1]. Формула (2) также верна, если вместе  подставим функцию вида:

  (3)

где  гармоническая функция при

Функция  определяется по следующим формулам:

 ,если   (4)

 , если   (5)

где  

Обозначим

.

Тогда интегральная формула имеет вид:

   (6)

Постановка задача. Пусть  удовлетворяет системе (1) в области  и

  (7)

Требуется восстановить вектор – функцию в  используя данные Коши.

Рассматривается нами задача относятся к некорректно – постановлением задачам, т.е. решение задача неустойчиво. Используя методику проведенную в работе [3], докажем следующее:

Теорема 1.Пусть вектор – функция  удовлетворяет системе (1), а также граничному условию  на . Если

 ,

то верна следующая оценка:

   (8)

где  – некоторая функция от ,

  

Доказательство. Формулу (6) представим в виде

Тогда

 состоит из комбинаций интегралов типа:

 .

Следуют оценки интегралов этих типов. Доказательство теоремы сначала приводим в случаи когда   

При этом функцию  запишем в виде

Отделяя мнимую часть функции  получим:

  , (9)

где

 . (10)

Используем формулу Лейбница в (10) получим:

 (11)

где  – коэффициенты бинома.

В дальнейшем используем неравенствами при  ,  

 при

 при

 при  (12)

 при

  при

В каждом неравенстве (12)  – постоянные различные. В этих неравенствах условие  можно заменить условием .

Оценивая (11) при  пользуясь неравенствами (12) получим:

 

Оценим интегралы типа .

Для этого находим производную от (11) по  :

 (13)

 Учитывая неравенства (12), из (13) получим следующие оценки:

 ,

Используем следующие формулы:

  (14)

Оценим . При этом

  (15)

Учитывая неравенства (12) и оценивая (15), получим следующее неравенство:

 

При  теорема доказано.       Теперь теорему докажем при условиях .

При этом функции определим из (4), где

Отделяя мнимую часть функции  получим:

 ,

где .

Теперь функция  определим следующим образом:

 (16)

Используем неравенства (12) и рассуждая аналогично как в случае четно- мерного пространства, получим из (16) доказательство теоремы.

Следствие 1. Предельное равенство

выполняется равномерно в любом компакте из .

            Пусть  вектор- функция, удовлетворяющая в области  системе (1), и непрерывна в области , а также , тогда верно следующее неравенство

 

 где,

 Верна следующая теорема:

            Теорема. 2. Пусть вектор функция  удовлетворяет системе (1),

 непрерывные приближения  на , т.е.

если  то верно

где,

 ,

Доказательство. Используем интегральную формулу (6)

 

Учитывая утверждение теоремы 1 и неравенства

 

 а также полагая , получим утверждение теоремы 2.

            Из этой теоремы следует:

            Следствие 2: Предельное равенство

 

выполняется равномерно на каждом компакте из G.

Литература:

1.      Н.Н. Тарханов. Об интегральном представленном решений систем линейных дифференциальной уравнений первого порядка в частных производных и некоторые приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск –1980, стр. 147- 160.

2.      М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математического физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г.

3.      Ш.Ярмухамедов. Интегральных представления гармонических функций многих переменных. ДАН СССР, Т.204, № 4, 1972, 799-802 стр.

4.      Ш.Ярмухамедов, А. Абдукаримов, З. Маликов. О задачи Коши для системы эллиптического типа первого порядка. Докл. Росс. Акад. Наук. Том 323 (1992) №1.