Подгрупповые функторы, представляющие собой функции, согласованные с изоморфизмами групп и выделяющие в них системы подгрупп, изначально возникли в теории радикалов колец. В теории конечных групп они применялись для обобщения конкретных теоретико-групповых объектов, аксиоматизируя их ключевые свойства. Систематическое изучение подгрупповых функторов началось в начале XX века (см., например, [1, 2]). Позднее было показано, что подгрупповые функторы являются удобным инструментом для изучения классов групп. Значительный вклад в развитие теории подгрупповых функторов внесли С. Ф. Каморников, А. Н. Скиба, М. В. Селькин и другие алгебраисты (см., например, [3–6]). Обзор основных результатов в этой области, классификация подгрупповых функторов и разработанные связи подгрупповых функторов с различными классами групп представлены в монографии [5].

Рассматриваются только конечные группы. Обозначения и определения, используемые в статье, являются стандартными (см., например, [5, 7]). Приведем лишь некоторые из них. Через обозначается множество всех простых чисел, непустое подмножество множества . Через обозначается порядок конечной группы , т. е. количество элементов группы , — совокупность всех простых делителей порядка группы . Группа называется -группой, если . Подгруппа группы называется -подгруппой группы , если является группой.

Классом групп называется всякая совокупность групп, которая с каждой своей группой содержит и все группы, ей изоморфные [7, с. 161]. Через обозначается класс всех конечных групп, — класс всех конечных разрешимых групп.

Определение 1. Отображение , ставящее в соответствие каждой группе непустую совокупность её подгрупп, называется подгрупповым функтором, если для любого изоморфизма каждой группы выполняется условие:

[5, с. 13].

Подгруппа группы , принадлежащая , называется ‐подгруппой группы . Если подгрупповые функторы, то запись означает, что для любой группы .

Определение 2. Следуя [5, с. 14], подгрупповой функтор назовём ‐регулярным, если для любой группы и любой ее нормальной ‐подгруппы выполняются следующие условия:

1. из того, что следует ;
2. из того, что следует .

Определение 3. Следуя [5, с. 16], подгрупповой функтор назовём ‐радикальным, если для любой группы и любой ее нормальной ‐подгруппы имеет место равенство , где .

Определение 4. Следуя [5, с. 15], подгрупповой функтор назовём -включающим, если для любой группы справедливо: из того, что , и — ωd‐подгруппа группы , следует, что .

Замечание 1. В случае, когда , перечисленные виды подгрупповых функторов совпадают с хорошо известными регулярными, радикальными, включающими подгрупповыми функторами соответственно (см., например, [5, гл. 1]).

Определение 5. Пусть — подгрупповой функтор. Следуя [8, с. 34], класс групп назовём:

— ‐замкнутым, если из того, что и — нормальная ‐подгруппа группы , следует, что ;

— ‐замкнутым, если из того, что и — нормальная ‐подгруппа группы , следует, что ;

— ‐замкнутым, если из того, что и ‐подгруппа группы , следует, что .

Через , , , обозначаются подгрупповые функторы, сопоставляющие каждой группе множество всех подгрупп группы , множество всех нормальных подгрупп группы , множество всех ‐подгрупп группы , множество всех нормальных ‐подгрупп группы соответственно.

В работе [3] для подгруппового функтора , заданного на классе групп , введен в рассмотрение и исследован тотально собственный класс подгруппового функтора , а именно, класс групп вида

.

Следуя [3], для произвольного подгруппового функтора , введём в рассмотрение следующий класс групп:

.

В теореме 1 установлены свойства подгруппового функтора , влияющие на свойства класса групп .

Теорема 1. Пусть — подгрупповой функтор, . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если — ωd‐регулярный подгрупповой функтор, то ‐замкнутый класс групп.
2. Если — ωd‐радикальный подгрупповой функтор, то ‐замкнутый класс групп.
3. Если — ωd‐включающий подгрупповой функтор, то ‐замкнутый класс групп.

Доказательство.

1. Пусть ‐регулярный подгрупповой функтор. Покажем, что класс групп является ‐замкнутым. Пусть и — нормальная ‐подгруппа группы . Согласно определению 5, достаточно проверить, что . Установим, что

.

Пусть — произвольная ‐подгруппа группы . Поскольку -подгруппа группы , то, ввиду теоремы Лагранжа, является ‐подгруппой группы , т. е. . Так как , то по заданию класса групп , . Следовательно, по определению 2 справедливо . Тем самым установлено, что каждая ‐подгруппа группы принадлежит множеству . Поэтому . Это означает, что . Тем самым установлено, что класс групп является ‐замкнутым. Утверждение (1) доказано.

2. Пусть ‐радикальный подгрупповой функтор. Докажем, что класс групп является ‐замкнутым. Пусть и — нормальная ‐подгруппа группы . Согласно определению 5, достаточно проверить, что .

Пусть , т. е. — произвольная ‐подгруппа группы . Тогда является ‐подгруппой группы . Так как , то и поэтому . Тогда по определению 3, справедливо следующее:

,

т. е. . Таким образом, установлено, что каждая ‐подгруппа группы принадлежит множеству . Поэтому справедливо включение . Это означает, что . Следовательно, класс групп является ‐замкнутым. Утверждение (2) доказано.

3. Пусть ‐включающий подгрупповой функтор. Покажем, что класс групп является ‐замкнутым. Пусть и ‐подгруппа группы . Докажем, что . Отметим, что, согласно заданию класса групп , имеет место .

Рассмотрим произвольную подгруппу группы . Поскольку ‐подгруппа группы , то также является ‐подгруппой группы и поэтому . Поскольку — ωd‐включающий подгрупповой функтор, то, согласно определению 4, . Таким образом, каждая ‐подгруппа группы принадлежит , то есть . Это, в силу задания класса групп , означает, что . Тем самым установлено, что класс групп является ‐замкнутым. Утверждение (3) доказано.

Теорема доказана.

Замечание 2. В случае, когда , перечисленные свойства подгрупповых функторов совпадают с хорошо известными свойствами регулярного, радикального и включающего подгрупповых функторов.

Литература:

1. Amitsur S. A. General Theory of Radicals // Amer. J. Math. — 1952. — V. 74. — P. 774–786.
2. Amitsur S. A. General Theory of Radicals // Amer. J. Math. — 1954. — V. 76. — P. 100–136.
3. Каморников С. Ф. Включающие подгрупповые функторы // Сибирский математический журнал. — 2015. — Т. 56. — С. 1057–1067.
4. Каморников С. Ф. Радикальные дистрибутивные функторы // Математические заметки. — 2000. — Т. 68. — № 1. — С. 91–97.
5. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука. — 2003. — 254 с.
6. Скиба А. Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука. — 1997. — 240 с.
7. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. ‒ Минск: Вышэйшая школа, 2006. ‒ 207 с.
8. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. ‒ М.: Наука, 1978. — 272 с.