В работе изучаются операции на классах конечных групп. Установлены свойства операции , где — непустое множество простых чисел.

Ключевые слова: группа, конечная группа, класс групп, операция на классах групп .

Введение

Теория конечных групп является одним из интенсивно развивающихся направлений современной алгебры (см., например, [4, 9]). В 30-е годы ХХ века в рамках теории групп сформировалось новое направление — теория классов групп (см., например, [3, 8]). В алгебре важным аспектом исследования рассматриваемых объектов является изучение операций над данными объектами. В этой связи с развитием теории классов групп актуальным стал вопрос введения в рассмотрение и изучение операций над классами групп [1].

В настоящее время хорошо известными и наиболее изученными являются такие операции на классах групп, как операции и др. [7]. Именно эти операции определяют такие важные виды классов групп, как формации и классы Фиттинга. Формация представляет собой класс групп, замкнутый относительно операций , класс Фиттинга — это класс групп, замкнутый относительно операций [2].

В современной теории классов групп центральное место занимают локальные формации и локальные классы Фиттинга [5]. Понятие -локальной формации, где непустое множество простых чисел, является естественным обобщением понятия локальной формации, а именно, всякая локальная формация является -локальной для любого множества [6]. Изучение -локальных формаций привело к необходимости введения в рассмотрение новых операций на классах групп, связанных с множеством . Целью настоящей работы является описание свойств операции на классах групп.

Предварительные сведения

В доказательствах теорем используются классические методы теории групп, а также методы теории классов групп. Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения для групп и классов групп стандартны. Приведем лишь некоторые из них.

Символ ∃ означает квантор существования (произносится «существует» или «для некоторого»), символ — квантор общности (произносится « для любого » или « для всех »).

Непустое множество с определенной на нём бинарной алгебраической операцией умножения называется группой ( мультипликативной ), если выполняются следующие аксиомы ( аксиомы группы ):

1) ассоциативность операции на ;

2) , : ;

3) , : .

Запись означает, что — нормальная подгруппа группы .Группа называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Порядком конечной группы называется число ее элементов и обозначается . Пусть − группа, − единичный элемент группы . Подгруппа называется единичной подгруппой группы .

Группы и называются изоморфными и обозначаются ≅ , если существует изоморфизм группы на группу . Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные .

Операцией на классах групп называется отображение множества всех классов групп в себя. Пусть — множество всех классов групп, , , …, — операции на классах групп, 2. Произведением операций , , …, называется операция на классах групп, обозначаемая … , определяемая индуктивно следующим образом: :

1) ;

2) … … , 2 .

Пусть — операция на классах групп. Тогда .

Пусть непустое множество простых чисел. Натуральное число n называется - числом , если n делится только на простые числа из . Операцией на классах групп называется отображение : , заданное по правилу: … , где , -число, ,…, , 2} для любого класса или, иначе, тогда и только тогда, когда такая, что , -число, , , и выполняется равенство .

Основные результаты

В теореме 1 установлена взаимосвязь между классами и .

Теорема 1. Пусть 𝔛 — произвольный класс групп . Тогда .

Доказательство. Пусть . Покажем, что Рассмотрим следующие подгруппы группы : , ,..., . Поскольку 1, , и натуральное число 1 является -числом, то , , …, — нормальные -подгруппы группы .

Так как , , …, , то по определению операции приходим к выводу, что . Это, ввиду определения класса групп и изоморфизма , означает, что .

Таким образом, . Теорема доказана.

В теореме 2 установлена взаимосвязь между классами и .

Теорема 2. Пусть 𝔛 — произвольный класс групп . Тогда .

Доказательство. Установим, что .

а) Покажем, что Пусть . Тогда, согласно теореме 1, справедливо:

Следовательно, .

б) Проверим, что Пусть . Так как , то существует подгруппа такая, что , порядок является -числом, , и .

Поскольку , то

( ) , , …, ,

( ) , , 2, …, , 2,

-число, , 2, …, , 2,

( ) … ,

и так далее,

( ) , , …, ,

( ) , , 2, …, , 2,

-число, , 2, …, , 2,

( ) … .

Из ( ) − ( ) по теореме о соответствии следует, что

( ) , …, , …, , …, — нормальные подгруппы группы .

Из ( ) − ( ) по теореме о гомоморфизмах следует, что

( ) , …, .

Из ( ) − ( ) по теореме Лагранжа

-число, , 2, …, , -число, , 2, …, .

Из ( ) − ( ) следует, что … , …, … и

( ) … … .

Из ( ) − ( )по определению операции следует, что . Таким образом, справедливо включение .

Из а) и б) получаем равенство . Теорема доказана.

Заключение

Операция является обобщением операции на классах групп. В случае, когда множество совпадает с множеством всех простых чисел, из полученных теорем в качестве следствий вытекают известные свойства операции [2, с. 22].

Литература:

1. Ведерников В. А. Элементы теории классов групп. — Смоленск: Смоленская городская типография, 1988. 96 с.
2. Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. — Витебск: ВГУ имени П. М. Машерова, 2012. 322 с.
3. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.
4. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. — Минск: Высшая школа, 2006. 207 с.
5. Скиба А. Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.
6. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. 1999. Т. 2. № 2. — С. 114–147.
7. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. 272 с.
8. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. 891 p.
9. Guo W. The Theory of Classes of Groups. — Beijing — New York: Science Press, 2000. 258 p.