Подгрупповые m-функторы и ω­-примитивные классы групп



В статье изучаются свойства подгрупповых m-функторов. Доказывается критерий ω­регулярности подгруппового m-функтора, а также устанавливается взаимосвязь решетки всех ω­регулярных подгрупповых m-функторов с решеткой всех ω­примитивных классов конечных групп.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой m-функтор, ω­примитивный класс групп.

Рассматриваются только конечные группы. В настоящее время такие направления современной алгебры, как теория подгрупповых функторов и теория классов конечных групп, являются интенсивно развивающимися и тесно связанными между собой (см., например, [3]). Среди подгрупповых функторов важное место занимают подгрупповые m- функторы, которые сопоставляют каждой группе совокупность всех или некоторых максимальных подгрупп данной группы. Наиболее значимые результаты о свойствах подгрупповых m- функторов получены М. В. Селькиным, Р. В. Бородичем и другими алгебраистами (см., например, [6]).

В работе С. В. Каморникова [2] изучены регулярные подгрупповые m- функторы и установлена их связь с примитивными классами групп. Естественным обобщением регулярных подгрупповых функторов являются ω­ регулярные подгрупповые функторы, где — непустое множество простых чисел.

Целью данной работы является исследование ω­ регулярности подгруппового m- функтора. Решены следующие задачи: установлена ω­ регулярность нормального подгруппового m- функтора для некоторого ω­ примитивного класса (теорема 1); доказан изоморфизм решетки всех ω­ регулярных подгрупповых m- функторов и решетки всех ω­ примитивных классов конечных групп (теорема 2). В доказательствах используются методы теории подгрупповых функторов и классические методы теории групп.

Используемая терминология стандартна (см., например, [3, 5]). Приведем некоторые из них: – ядро подгруппы в группе ; — наибольшая нормальная ω­ подгруппа группы . Совокупность групп называется классом групп, если из и всегда следует, что . Через обозначается класс всех конечных групп [5].

Пусть — непустой класс групп. Максимальную подгруппу группы называют нормальной максимальной подгруппой группы , если выполняется следующее условие: [7, с. 429]. Группа называется ω­примитивной , если в существует максимальная подгруппа такая, что , при этом

называется ω­примитиватором группы [1, с. 1226].

Отображение , ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую совокупность её подгрупп, называется подгрупповым функтором , если для любого изоморфизма каждой группы [3, с. 9]. Подгрупповой функтор называется подгрупповым m-функтором , если он выделяет в каждой группе множество

, содержащее группу и некоторые ее максимальные подгруппы [3, с. 17]. Подгрупповой функтор называется ω­регулярным , если для любой группы и для любой ее нормальной ω­ подгруппы выполняются два условия:

1) ;

2) [4, с. 11].

Подгрупповой m- функтор назовем нормальным, если он выделяет в каждой группе совокупность все ее

нормальных подгрупп.

В теореме 1 установим критерий ω­ регулярности подгруппового m -функтора. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 1. Если , то группа ω­примитивна и – её ω­примитиватор.

Доказательство. Пусть . Покажем, что — ω­ примитивная группа и — её примитиватор.

Введем следующие обозначения: , , . Достаточно показать, что , то есть достаточно установить, что (1).

Пусть (2). Так как — нормальная ω­ подгруппа группы и , то, в силу леммы 1 [4, с. 11], имеем:

.

Тогда равенство (2) примет вид: . Следовательно, , то есть . Поэтому равенство (1) верно.

Поскольку , то, ввиду леммы 3.17 (3) [5, с. 112], получаем, что , то есть (3). Таким образом, из условий (1) и (3)
группа ω­ примитивна и

— её ω­ примитиватор. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть — подгрупповой m-функтор. Тогда и только тогда является ω­регулярным, когда он нормален для некоторого ω­примитивного класса .

Доказательство. I. Достаточность. Пусть — ω­ примитивный класс групп, — нормальный подгрупповой m -функтор. Покажем, что является ω­ регулярным подгрупповым m- функтором.

Так как — нормальный подгрупповой m -функтор, то для любой такой, что , получаем . Следовательно, в силу теоремы 1 (1) [4, с. 11], подгрупповой m -функтор является ω­ регулярным.

II. Необходимость. Пусть — ω­ регулярный подгрупповой функтор. Покажем, что является нормальным подгрупповым функтором для некоторого ω­ примитивного класса

.

Пусть — класс всех ω­ примитивных групп , ω­ примитиваторы которых принадлежат (*).

Пусть — нормальный подгрупповой функтор. Покажем, что . Пусть — произвольная группа.

1) Установим, что

.

Пусть (1). Тогда . Так как является ω­ регулярным подгрупповым функтором и — нормальная ω­ подгруппа группы , то

(а),

причем, ввиду леммы 1, — ω­ примитиватор группы

(б).

Из (а) и (б), с учетом (*), имеем, что . Таким образом, получаем, что — нормальная максимальная подгруппа группы . В силу выбора подгруппового функтора , имеем, что (2). Из (1) и (2) следует, что .

2) Установим, что .

Пусть (3). Тогда, ввиду того, что — нормальный подгрупповой m -функтор, имеем . Следовательно, группа ω­ примитивна и по лемме 1 получаем, что — её ω­ примитиватор. Тогда, в силу (*),

.

Поскольку является ω­ регулярным подгрупповым функтором и

— нормальная ω­ подгруппа группы , то (4).

Из (3) и (4) следует, что .

Из 1) и 2) заключаем, что и, значит, — нормальный подгрупповой функтор. Теорема доказана.

Следуя [2], множество всех ω­ регулярных подгрупповых m -функторов обозначим через . Данное множество образует решетку относительно операций пересечения

и объединения , заданных следующим образом: для любых m -функторов и и любой группы справедливо и .

Следуя [2], множество всех ω­ примитивных классов групп обозначим через . Данное множество образует решетку относительно операций пересечения и объединения , заданных следующим образом:

и .

В теореме 2 установлена взаимосвязь решетки с решеткой .

Теорема 2. Решетки и изоморфны .

Доказательство. I. Пусть – отображение, заданное по правилу: для любого подгруппового функтора справедливо:

(*), где

(**).

Покажем, что отображение является изоморфизмом. Для этого достаточно проверить, что отображение является биективным гомоморфизмом решеток и .

1) Установим, что отображение является сюръективным. Для этого достаточно проверить, что для любого существует

такой, что .

Пусть , то есть – некоторый ω­ примитивный класс групп. Пусть — отображение, ставящее в соответствии каждой группе множество , содержащее группу и все те её максимальные подгруппы , для которых , то есть для любой группы

справедливо

(1).

Тогда, в силу теоремы 1 (1) [4, с. 11], отображение является ω­ регулярным подгрупповым m -функтором и поэтому . Ввиду (*) и (**),

(***). Покажем, что .

а) Установим, что

. Пусть . Покажем, что .

Так как , то и , где – ω­ примитиватор группы , и значит, . Поскольку , то

, и в силу равенства , получаем . Таким образом, .

б) Установим, что . Пусть . Проверим, что . В силу (***), достаточно показать, что . Так как и , то

. Пусть — ω­ примитиватор группы . Следовательно, и, поскольку , получаем, что

.

Тогда . Так как и , то

и поэтому . Из а) и б) заключаем, что .

Таким образом, для любого существует подгрупповой функтор такой, что , то есть отображение является сюръективным.

2) Покажем, что отображение является инъективным. Пусть ,

и . Установим, что . Из (***) следует, что и, ввиду (**), , где

,

.

Пусть .

а) Покажем, что . По пункту 1), по аналогии с (1)

,

.

Пусть и . Тогда и . Следовательно,

. Таким образом, .

б) Покажем, что . Пусть и . Тогда имеет место и . Следовательно, . Таким образом, .

Из а) и б) заключаем, что

для любой группы . Следовательно, .

Таким образом, из того, что , следует , то есть отображение является инъективным.

Из 1) и 2) получаем, что отображение является биективным.

II. Покажем, что отображение является решеточным гомоморфизмом. Пусть

.

1) Установим, что .

Так как для любой группы по заданию решеточного пересечения на множестве имеем , то, ввиду (**), получаем:

.

Таким образом, .

2) Установим, что .

Так как для любой группы по заданию решеточного объединения на множестве имеем , то, ввиду (**), получаем:

.

Таким образом, .

Из 1) и 2) следует, что отображение является гомоморфизмом решеток и .

Таким образом, из I и II заключаем, что решетки

и изоморфны. Теорема доказана.

Литература:

1. Ведерников В. А., Сорокина М. М. проекторы и покрывающие подгруппы конечных групп // Сиб. матем. журн. – 2016. – Т. 57, № 6. С. 1224–1239.
2. Каморников С. Ф. Обобщенные подгруппы Фраттини как корадикалы групп // Математические заметки. – 2010. – Т. 87, № 3. – С. 402–411.
3. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. – Минск: Беларуская навука. – 2003. – 254 с.
4. Макаров Д. А. О свойствах нормального подгруппового
   m -функтора // Наука России – будущее страны: сборник статей Всероссийской научно-практической конференции. – Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение». – 2022. – С. 10–14.
5. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Минск: Вышэйшая школа. – 2006. – 207 с.
6. Селькин М. В., Бородич Р. В. О пересечении максимальных подгрупп конечных групп // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. – 2009. – Т. 74, № 8. – С. 67–77.
7. Сорокина М. М., Максаков С. П. О нормальности абнормальных максимальных подгрупп конечных групп // Математические заметки. – 2020. – Т. 48, № 3. – С. 428–440.